Integración de formularios e integración en un espacio de medida

Question

En Terence Tao de la PCM artículo: FORMAS DIFERENCIALES E INTEGRACIÓN, se señala que existen tres conceptos de integración que aparecen en el tema(de una sola variable cálculo):

• la integral indefinida $\int f$ (también conocido como el anti-derivado),
• el sin signo de la integral definida, $\int_{[a,b]} f(x) dx$ (que se podría utilizar para encontrar el área bajo una curva, o la masa de un uno-dimensional objeto de densidad variable),
• y el firmado de la integral definida, $\int _a^b f(x) dx$ (que se podría utilizar por ejemplo para calcular el trabajo requerido para mover una partícula desde a hasta b).

Cuando uno se mueve a partir de una sola variable cálculo de varias variables cálculo:

• La integral indefinida se generaliza la noción de una solución a una ecuación diferencial, o de un integrante de una conexión, el vector de campo, o de paquete.
• El sin signo de la integral definida, se generaliza a la integral de Lebesgue, o más en general para la integración en una medida de espacio.
• Por último, la firma de la integral definida, se generaliza a la integración de las formas.

Mientras que el aprendizaje de este artículo, he tratado de encontrar la contraparte de la tarde dos tipos de integración(como el título indica) en varias variables cálculo I aprendido antes. Ahora estoy considerando los siguientes cuatro tipos de integración:

• Integral de línea de un campo escalar
• Integral de línea de un campo vectorial
• La superficie de las integrales de campos escalares
• La superficie de las integrales de campos vectoriales

Aquí están mis preguntas:

• ¿Qué tipo de integración son estos cuatro, de acuerdo a las categorías en el artículo? (Yo supongo que en general el escalar es la integración en una medida del espacio y el vector es la integración de formularios).

• Cómo hacer que pertenecen a la categoría respectivamente? (Por ejemplo, si es la integración en una medida de espacio, entonces, ¿qué es exactamente la medida subyacente espacio?)

Answer 1

La línea y la superficie de las integrales de cálculo multivariable puede ser ampliado en varias maneras diferentes a las más avanzadas y más ajustes generales. Así que no hay necesariamente una respuesta correcta a su pregunta. Aquí es una manera de poner estas integrales en una configuración más avanzada, la cual va a responder a su "adivinar", en la afirmativa. Voy a suponer que todo que estamos preocupados con integrales a través de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$, como en la licenciatura de cálculo.

Para las integrales de funciones escalares sobre perdidos subconjuntos de $\mathbb{R}^n$, se puede utilizar la integral de Lebesgue con respecto a $k$-dimensional medida de Hausdorff de $\mathcal{H}^k$. La integral de línea de una función escalar de $f$ a través de una curva de $C$ en $\mathbb{R}^3$, entonces es: $$ \int_C f \, ds = \int_{\mathbb{R}^3} f \, d\mathcal{H}^1,$$ donde puedo suponer que $f$ es definida como 0 de $C$. Esto tiene la ventaja de generalizar bien en varias direcciones. En primer lugar, cuando la integración de formas diferenciales, que están generalmente restringidas a diferenciable colectores de enteros de dimensión. Con la medida de Hausdorff enfoque, se puede integrar sobre los conjuntos que no son necesariamente diferenciable submanifolds de $\mathbb{R}^n$ o a través de subconjuntos de no enteros de dimensión (ex: fractales). En segundo lugar, esta definición hace (escalar) de la línea, la superficie y el volumen de las integrales en $\mathbb{R}^3$ todos el mismo tipo de integral (sólo las diferentes dimensiones de la medida de Hausdorff), ya que $$n-dimensional Hausdorff medida es igual a la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$. (Descargo de responsabilidad: si bien esta definición está muy bien en teoría, es bastante inútil en la práctica. No se dará una nueva manera de calcular una norma integral de línea, por ejemplo).

Para las integrales de vector de valores de las funciones orientadas a la submanifolds de $\mathbb{R}^n$, que se puede utilizar de formas diferenciales. Voy a usar $\mathbb{R}^3$ para el ejemplo. Considere el campo vectorial $F=(f,g,h)$ en $\mathbb{R}^3$. Podemos asociar dos diferentes formas diferenciales con este campo. Tenemos la 1-forma $\omega = f\,dx + g\,dy + h\,dz$ y la 2-forma $\eta = f\, dy \wedge dz + g\, dz \wedge dx + h\, dx \wedge dy$. Entonces nos encontramos con que $$\omega = (h_y-g_z)\, dy \wedge dz + (f_z-h_x)\, dz \wedge dx + (g_x-f_y)\, dx \wedge dy$$ que corresponde a $\operatorname{curl} F$, y nos encontramos con que $$d\eta = (f_x+g_y+h_z) \, dx \wedge dy \wedge dz$$ que corresponde a $\operatorname{div} F$. En esta configuración, los teoremas de Green, Gauss y Stokes de cálculo multivariable son sólo casos especiales de Stokes Teorema: $$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega.$$ Hay un poco de trabajo involucrado en asegurarse de que todo funciona como debería. Por ejemplo, en el Teorema de la Divergencia (del Teorema de Gauss) es necesario comprobar que, si $M$ es un 3-submanifold de $\mathbb{R}^3$, entonces el 2 de forma que se induce a partir de $\eta$ por la inclusión de $\partial M \rightarrow \mathbb{R}^3$ corresponde a $F \cdot n \ dS$. Pero no te preocupes, todo saldra bien.

Así que para responder a tu pregunta: sí, usted puede pensar de las integrales de "campos escalares" como la integración en una medida del espacio y la integración de los "campos vectoriales" como la integración de formas diferenciales (siempre y cuando usted está considerando el estándar de "Calc III" integrales a través de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ con el estándar de las estructuras heredadas de $\mathbb{R}^n$). Sólo ten en cuenta que estas no son las únicas maneras de pensar de estas integrales, como se puede ver a partir de Willie respuesta.