Un espacio obtenido por$S^3$ mediante la eliminación de un enlace Hopf

Question

Si queremos eliminar una de Hopf enlace de $3$-dimensiones de la esfera $S^3$, podemos obtener un espacio homotopy equivalente a (o deformación retraer a) un anillo?

Si la respuesta es sí, podemos escribir de manera explícita?

EDIT: Vamos a $H^+$ denotar el positivo de Hopf enlace. Si quitamos $H^+$ de $S^3$, obtenemos un Milnor fibration $\pi_+: S^3-H^+ \to S^1$ dado por la regla de $(r_1,\theta_1,r_2,\theta_2) \to \theta_1+\theta_2$, ver Etnyre's nota. Esto le da un libro abierto de la descomposición de $S^3$ con una página de anillo.

Answer 1

Parece ser que hay un par de confusiones aquí.

El Hopf fibration es una presentación de la $S^3$ (orientado a) círculo paquete de más de $S^2$. En particular, cuando se elimina el polo norte y sur, tiene un círculo de paquete de más de $\Bbb R \times S^1$; proyectando una vez más al círculo factor, tiene un anillo paquete de más de $S^1$. Este es el libro abierto de la descomposición que mencionas.

Usted puede no concluir de esto que el espacio total es de homotopy equivalente genérico de la fibra de este paquete: simplemente no es verdad! Estás ignorando la homotopy tipo de la base. En lugar de eso, lo que son capaces de realmente decir es que el espacio total es de homotopy equivalente a un círculo de paquete de más de $S^1$ (inicio con el círculo paquete de más de $S^1 \times \Bbb R$, y, a continuación, aplastar a la $\Bbb R$ factor a un punto). De hecho, todo el paquete de más de $S^1 \times \Bbb R$ es trivial (ejercicio: escriba un mundial de la decadencia), y, por tanto, $S^3 \setminus H \cong S^1 \times \Bbb R \times S^1$. Como corolario, se encuentra la descripción en uno de los comentarios que $\pi_1(S^3 \setminus H) = \pi_1 T^2 = \Bbb Z^2$.

Como un breve comentario sobre la diferencia entre el $S^3$ e $\Bbb R^3$, aquí hay algunos principios generales. En primer lugar, la eliminación de un conjunto de codimension mayor que $2$ no cambia el grupo fundamental. En segundo lugar, se puede entender explícitamente la homotopy tipo de $\Bbb R^3 \setminus L$ , dado que de $S^3 \setminus L$: de hecho, tenemos una homotopy equivalencia $$\Bbb R^3 \setminus L \simeq (S^3 \setminus L) \vee S^2.$$ (This is a general fact: if $M$ is a noncompact $n$-manifold, then $M \setminus \{pt\} \simeq M \vee S^{n-1}$. Argue by showing that $M$ deformation retracts onto an $(n-1)$-dimensional subcomplex, but even better, that it deformation retracts onto something of the form $M' \vee B^n$, where $M'$ is a subcomplex of dimension $(n-1)$; then puncturing in the interior of $B^n$, we obtain a deformation retraction onto $M' \vee S^{n-1}.$)

Answer 2

El Hopf enlace es un toro vínculo, es complemento (como el de cualquier algebraicas link) fibras en el círculo con fibra de un mínimo de género Seifert superficie. Más explícitamente $S^3 \setminus \nu (L)$ es diffeomorphic a $A\times [0,1]/\sim$, donde $A=S^1 \times [0,1]$ denota el anillo, y los $\sim$ la equivalencia respecto de la identificación de $(x,1) \sim (\tau_\gamma(x), 0)$ donde $\tau_\gamma:A \to A$ denota una Dhen giro a lo largo de $\gamma= S^1 \times \{1/2\}$. Por lo tanto $S^3 \setminus \nu (L)$ es homotópica equivalente a los dos toro $S^1 \times S^1$

En general $S^3 \setminus \nu (K_{p,q})$, donde $K_{p,q}$ indica el $(p,q)$ toro nudo, es homotópica equivalente a $F_g \times S^1$ donde $F_g$ denota un ramo de $g=(p-1) (q-1)$ círculos.