¿Por qué generalizar la derivada para funciones multivariables?

Question

Lo siento si esto es un dupe (hice una búsqueda, no podía encontrar nada).

En la única variable de cálculo, si el siguiente límite existe:

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

entonces esta expresión en sí es la derivada de la $f$$x$. Esto está muy bien motivado geométricamente y de otra manera. Esta definición da de $f'(x)$, lo que le da la mejor aproximación lineal $\tilde{f}$ $f$ $x$por

$$\tilde{f}(t) = f'(x)t + f(x).$$

Para funciones de varias variables, la mayoría del tiempo veo que la derivada se define en términos de la mejor aproximación lineal a la función de forma explícita. Específicamente, la derivada de una función multivariable $g$ $\mathbf{y}$ es de algún operador lineal $L(\mathbf{y})$. Concretamente, si la siguiente expresión es satisfecho:

$$\lim_{\mathbf{h} \rightarrow 0}\frac{\|g(\mathbf{y} + \mathbf{h}) - g(\mathbf{y}) + L(\mathbf{y})\|}{\|\mathbf{h}\|} = 0,$$

a continuación, $L(\mathbf{y})$ es el derivado de la $g$$\mathbf{y}$. Podemos mostrar que $L(\mathbf{y})$ es único en este caso.

Mi pregunta es ¿por qué esta generalización es necesario? ¿Cuál es el problema con que simplemente definir es de forma análoga al caso de una sola variable como

$$L(\mathbf{y}) = \lim_{\mathbf{h} \rightarrow 0}\frac{g(\mathbf{y} + \mathbf{h}) - g(\mathbf{y})}{\|\mathbf{h}\|}?$$

Answer 1

Para una cosa, que limitan normalmente no va a existir, incluso cuando la función es derivable. Tomar $$g(x,y) = x \, .$$

Considere la posibilidad de $h^1_n = (\frac{1}{n},0)$, $h^2_n = (0,\frac{1}{n})$. Si se toma el límite a lo largo de la secuencia de $(h^1_n)_{n=1}^\infty$, el límite es de $1$. Tomando a lo largo de $(-h^1_n)_{n=1}^\infty$, el límite es de $-1$. Tomando a lo largo de $(h^2_n)_{n=1}^\infty$, el límite es cero.

El candidato a la definición también no está de acuerdo con la definición estándar de la derivada en el caso unidimensional, porque de la norma (valor absoluto) en el denominador. Usted tendría $g(x) = |x|$ ser derivable en cero, y $g(x) = x$ no diferenciable.

Además, la definición estándar generaliza para las funciones de $g: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M $. Su propuesta no será muy sencillo generalizar al caso en que el rango no es escalar.