Explícame esta prueba sin palabras de integración por partes.

Question

Aquí hay una prueba de integración por partes: http://www.math.ufl.edu/~mathguy/year/S10/int_by_parts.pdf

Pero no entiendo cómo funciona. Específicamente, no entiendo por qué$\int_r^s u \, dv$ es igual a una de las áreas (y lo mismo ocurre con$\int_p^q v \, du$).

Para mí, parece que esto solo funciona si$g$ es el inverso de$f$ ...

¡Gracias!

Answer 1

Si jugamos con el gráfico en nuestra cabeza, se puede mirar desde dos perspectivas: $(U,V(U))$$(V,U(V))$. Es decir, si nos fijamos en cómo se presenta, podemos ver que el área del segundo cuadro de la ecuación es $\int_{p}^{q}V(U)dU.$ En su notación, que es exactamente $\int_{p}^{q}vdu$. Esto se deduce de la definición de una integral definida.

Ahora, si nos voltear el gráfico (girar la cabeza hacia los lados), reflejan a la izquierda, y mira desde la perspectiva de $(V,U(V))$, podemos ver que el área debajo de la volcó en la curva de es $\int_{r}^{s}U(V)dV$. Esto es, en su notación, $\int_{r}^{s}udv$.

Por ello, tenemos que el total de la suma de las áreas es $\int_{r}^{s}udv+\int_{p}^{q}vdu.$

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No hay una pérdida de rigor de lo que nunca en este diagrama. Es bastante inquietante al principio, pero lo que estamos realmente haciendo es esto:

Deje $v: U \to V$ ser un mapa en el que, en $u \in U$,$u \mapsto v(u)$. El dominio y el rango, por tanto, forman el conjunto de pares ordenados $\{(u,v(u)): u\in U\}$. Nuestro otro mapa, $v^{-1}:V \to U$, es el flip-entonces-reflexionar-a la izquierda del mapa con la asignación $v(u) \mapsto u$. Es el conjunto de pares ordenados $\{(v(u),u): u\in U\}$. Este es el inverso mapa de $v$, por definición.

Tener ese $u=f(x_0)$ algunos $x_0$ $v(u)=g(x_1)$ algunos $x_1$, sin embargo, no implica, necesariamente, $g$ es la inversa de a $f$.

Answer 2

La parte importante es que los mismos ejes son los originales de $x,y$ ejes después de la aplicación de las funciones de $u$ $v$ a por ellos!!!

Tal vez este diagrama a partir de aquí es más claro. Debido a $u=f(v)$ es la altura de la curva de la $v$ eje, el área de la parte inferior es $\displaystyle \int_{v_1}^{v_2}u \space d v$. Pero tenga en cuenta que $u_1=f(v_1),u_2=f(v_2)$.

A continuación, vamos a la $v$ valores de cambio. Ahora $v$ es la altura de la curva de la $u$ eje, el área de la parte superior es $\displaystyle \int_{u_1}^{u_2}v \space d u$.

La suma de estas áreas es una buena diferencia de las áreas de cajas. I. e. $u_2v_2-u_1v_1$. Esto es sin embargo el $uv|_{(v_1,u_1)}^{(v_2,u_2)}$. Así que, simbólicamente

$\displaystyle \int_{v_1}^{v_2}u \space d v +\int_{u_1}^{u_2}v \space d u=uv|_{(v_1,u_1)}^{(v_2,u_2)}$.

Answer 3

La curva negra debe verse como una curva paramétrica$(f(t),g(t))$,$a\le t\le b$.

Answer 4

El área entre las curvas y los ejes se suma para dar el área del rectángulo con el área$qs$, con el cuadrado del área$pr$. Entonces resta las dos áreas y hazlas iguales a la suma de las integrales. Gracias por esta prueba, me gusta mucho!

Answer 5

Usó la fórmula de que el área de una región bajo la curva$y=g(x),x=v(x)$ es igual a$\int_{C} xdy=\int_{C}vdu$. Esto es de la fórmula de Green. Vea este artículo de wikipedia. Dado que la derivación de la fórmula de Green no implica la integración por partes, esta es una "prueba sin palabras".