Área de un triángulo dentro de una elipse

Question

$F_1$ , $F_2$ son los focos de la elipse $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ . $P$ es un punto de la elipse tal que $|PF_1|:|PF_2|=2:1\;$ Entonces, ¿cómo podría averiguar del área de $PF_1F_2$ ?

Como sabemos $c^2=a^2-b^2=9-4=5$ ,
$$c=\pm \sqrt5$$ Así que el epicentro de la elipse respectivamente $(\sqrt5,0)\; \& \;(-\sqrt5,0)$ .
Tenemos que encontrar el área de $PF_1F_2$ que es $=1/2\times F_1F_2\times$ (distancia perpendicular de $P$ a cualquier punto de la línea horizontal $F_1F_2$ )
No entiendo qué y cómo hacer a continuación... averiguar el área de PFF

Answer 1

Refiriéndose al gráfico:

$\hspace{2cm}$

Tenga en cuenta que $|PF_1|+|PF_2|=|AF_1|+|AF_2|=2a=6$ . Utilizando la condición dada $|PF_1|=2|PF_2|$ encontramos $|PF_1|=4, |PF_2|=2$ . Puedes utilizar la fórmula de Heron para encontrar el área de $\Delta PF_1F_2$ : $$ a=|PF_1|=4, b=|PF_2|=2, c=|F_1F_2|=2\sqrt{5}, p=\frac{a+b+c}{2}=3+\sqrt{5}; \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)(3-\sqrt{5})}=4.$$

Answer 2

Con el uso de la definición de elipse $$|PF_1|+|PF_2|=2a=6$$ y la relación dada $$|PF_1|:|PF_2|=2:1,$$ obtenemos $$|PF_1|=4, \; |PF_2|=2$$ Desde $F_1F_2=2\sqrt 5=\sqrt{20}=\sqrt{4^2+2^2},$ tenemos un triángulo rectángulo $\triangle PF_1F_2$ con la hipotenusa $F_1F_2.$ La zona es $$\mathcal{A}=\frac 12 \cdot |PF_1|\cdot |PF_2|=4$$

Answer 3

Una pista:

WLOG $P(3\cos t,2\sin t)$

$$|PF_1|^2=(3\cos t-\sqrt5)^2+(2\sin t-0)^2=?$$

$$|PF_2|^2=(3\cos t+\sqrt5)^2+(2\sin t-0)^2=?$$

$$\dfrac{|PF_1|^2}{|PF_2|^2}=2^2$$

Utilice $\sin^2t=1-\cos^2t$ para formar una ecuación cuadrática en $\cos t$