encontrar las soluciones integrales

Question

Demostrar que la ecuación $\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-2} = 1$ tiene soluciones integrales para $n > 6$ .

No tengo ni idea de cómo proceder, puede alguien darme una pista.

Disculpe los errores en el texto anterior.

Answer 1

Para $n=7$ , toma $x_1=x_2=x_3=x_4=4$ y $x_5=x_6=x_7=2$

Para $n=8$ , toma $x_1=x_2=2$ , $x_3=x_4=x_5=x_6=3$ y $x_7=x_8=6$

Para $n=9$ , toma $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x_7=x_8=x_9=3$

Ahora supongamos que tenemos una solución $x_1, x_2$ . . . $x_n$ para algunos $n$ . Entonces:

$\sum\limits_{i=1}^nx_i^{-2}=1$

Así que, $\sum\limits_{i=1}^n(2x_i)^{-2}=1/4$ .

Por lo tanto, $2x_1, 2x_2$ . . . $2x_n, 2, 2, 2$ se convierte en una solución para el caso de $n+3$ . Como el problema se ha resuelto para $n=7,8,9$ por inducción, tenemos una solución para todo $n>6$ .