Apreciaría si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:
P: Cómo integrarlo$$\int_{0}^{b} \ln(x+\sqrt{x^2+1})dx=?(b>0)$ $
Respuestas
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Dennis
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Haciendo el cambio de las variables$x=\sinh t$ obtenemos$$\ln(x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\sinh t+\cosh t)=\ln e^{t}=t,$ $ y también$dx=\cosh t\, dt$. ¿Puedes tomarlo desde aquí?
Si no, aquí hay un spoiler:
Integrar por partes:
\begin{align} \int t\,d(\sinh t)=t\sinh t-\int \sinh t\,dt=t\sinh t-\cosh t.\end {align} Volviendo a la variable inicial$x$, obtenemos \begin{align} x\ln(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}.\end {align}
Una forma alternativa sería integrar una vez por partes para eliminar el logaritmo y luego notar que:$$x\left[\ln(x+\sqrt{x^2+1})\right]'=\frac{x}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\left[\sqrt{x^2+1}\right]'.$ $
Hurkyl
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Hay un montón de maneras de empezar:
- El integrando es un logaritmo: tal vez el truco habitual para el uso de la integración por partes de trabajo para esta integrando así como a la $\ln x \, dx$?
- Sabemos cómo integrar los logaritmos, pero el argumento es complicado. Podemos sustituir el $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$
o incluso
- Tal vez deberíamos simplificar radicales, y el sustituto de la $x = \tan \theta$ o $x = \sinh u$, o un adecuado racional de sustitución si has visto ese truco.
El truco es saber cual usar?
En realidad, eso es una mentira total: el truco es tratar de trabajar a través de todos los clientes potenciales que usted tiene en un problema para ver si se pone usted en cualquier lugar útil. Una de las cosas más importantes para entender acerca de la resolución de problemas es que, la mayoría de las veces, no sabemos realmente si algo se va a trabajar antes de empezar a tratar. Sólo tienes que salir y probar cosas hasta encontrar algo que funciona, o al menos, convierte el problema a otro que usted piensa que usted puede averiguar cómo resolver.
Uno de los tres métodos que he mencionado conduce a una integrando de una forma que usted ya debe saber cómo hacerlo.
Uno de estos métodos está en la otra respuesta, que también proporciona una observación adicional de que puede haber sido no evidentes acerca de cómo simplificar el resultado.
No creo que el resto de método conduce a una solución fácil... pero no probé mucho, y tal vez es una sencilla también.
Un cuarto método depende de los conocimientos especiales: el integrando se ve muy similar a cómo el hiperbólicas inversas de funciones trigonométricas mirada cuando se expresa como logaritmos (la misma con la circular, excepto los que implican $\mathbf{i}$). Así que usted podría buscar lo que uno es y consulte a su integral tablas -- o utilice el método apropiado para que se deriva de su propia, que es la misma integración por partes truco con $\ln x \, dx$ (no necesariamente tiene que averiguar la función inversa es el uso de los IBP truco).
