¿Se puede escribir un subespacio como la suma directa de sus intersecciones con subespacios generados por particiones de una base?

Question

Decir $V$ es un espacio vectorial con alguna base $\mathcal{B}=\{b_i\}_{i\in I}$, y deje $\{B_1,\dots,B_n\}$ ser una partición de $\mathcal{B}$. En general, para $S$ un subespacio no es cierto que $$ S=\bigoplus_{i=1}^n (S\cap\langle B_i\rangle). $$ Por ejemplo, tome $V=\mathbb{R}^2$ como un verdadero espacio vectorial, y $S=\langle(1,1)\rangle$,$B_1=\{e_1\}$$B_2=\{e_2\}$. A continuación,$S\cap\langle B_i\rangle=\{0\}$$i=1,2$, así que no hay igualdad.

Si añadimos la condición de que $S\cap\langle B_i\rangle\neq\{0\}$ todos los $i$, por encima de la igualdad de ser demostrado? O es imposible? Está claro que el $\supseteq$ contención mantiene en todos los casos.

Answer 1

Tome$V=K^4$ con base$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$. Considere la partición$\{\{e_1,e_2\},\{e_3,e_4\}\}$ de$\cal B$. Luego establecemos$S=\langle e_1+e_3,e_2,e_4\rangle$. Está claro que$S\cap\langle e_1,e_2\rangle=\langle e_2\rangle$ y$S\cap\langle e_3,e_4\rangle=\langle e_4\rangle$ pero$S$ es un subespacio tridimensional de$V$ mientras que$\langle e_2\rangle\oplus\langle e_4\rangle$ es solo un subespacio bidimensional.

Answer 2

El poblem con su supuesta ecuación es que la suma directa en el lado derecho es en general menor que $S$. Exigir que los $S\cap\langle B_i\rangle\neq\{0\}$ no va a ayudar, ya que sólo tiene que añadir algunos externo de nuevos vectores, y asignar a cada uno de ellos a $S$ y a una de las partes $B_i$ que anteriormente tenían un cero intersección con $S$; esto asegurará $S\cap\langle B_i\rangle\neq\{0\}$ sin hacer nada para solucionar su problema. En su ejemplo, tanto en $S\cap B_1$ $S\cap B_2$ son cero, así que usted puede agregar dos nuevos vectores de la base $e_3,e_4$, y en $W=\Bbb R^4$ considera $S=\langle (1,1,0,0),e_3,e_4\rangle$$B_1=\{e_1,e_3\}$$B_2=\{e_2,e_4\}$; ahora $S\cap B_1$ $S\cap B_2$ son cero, pero siendo ambos los únicos que abarcan un subespacio $\langle e_3,e_4\rangle$ de la dimensión de $2$, estrictamente contenida en $S$. Usted ve que la extensión no hizo nada para remediar la situación restringido a (o, si quieres, proyectado en) el subespacio $\langle e_1,e_2\rangle$.

En general, si usted tiene una declaración falsa con un contraejemplo, y piensan corregir con una condición adicional que no está satisfecho en el ejemplo, entonces usted debe pensar en primer lugar si la condición tiene la suficiente "fuerza" para hacer esto, en otras palabras, si usted puede imaginar esta condición para ser un ingrediente fundamental de una prueba de la declaración. Una manera de demostrar que no tiene suficiente músculo para mostrar que usted puede adoptar el contraejemplo fácilmente para satisfacer a su condición, sin cambiar la esencia. Y también se podría suponer que las condiciones de $S\cap\langle B_i\rangle\neq\{0\}$ no son muy fuertes para una prueba; que le permitirá elegir un vector distinto de cero en la intersección, pero de eso se trata, y este no parece el tipo de cosa que va a llevar a una declaración como la que se desea probar. De hecho, su estado es bastante desesperado; la igualdad tiene (si y sólo si $S$ lo que en realidad se extendió por un subconjunto de a $\mathcal B$ (basta con comparar las dimensiones), que es una situación excepcional.