Grupos de ramificación superiores informática (en una computadora) o los conductores de las representaciones.

Question

Yo soy la supervisión de un universitario para un proyecto en el que va a hablar acerca de la relación entre las representaciones de Galois y las formas modulares. Decidimos que nos gustaría averiguar un par de ejemplos de peso 1 modular de formas y representaciones de Galois y ver la coincidencia. Pero me di cuenta de que cuando se trabaja a través de algunos ejemplos de que la computación en el conductor de la Galois representación me estaba dando problemas, a veces en pequeños números primos.

He aquí una pregunta explícita. Set $f=x^4 + 2x^2 - 1$ y deje $K$ ser la división de campo de la $f$$\mathbf{Q}$. Es Galois sobre $\mathbf{Q}$ grupo $D_8$. Deje $\rho$ ser irreducible 2-dimensional representación de $D_8$. ¿Qué es el conductor de la $\rho$? Tenga en cuenta que yo en particular, no quieren saber la respuesta a esta pregunta en particular, quiero saber cómo funcionan estas cosas en general. De hecho creo que tal vez podría averiguar el conductor de $\rho$ haciendo cálculos sobre las formas modulares lado, pero yo no quiero hacer eso (de alguna manera el punto de que el proyecto es ver que los cálculos realizados en 2 formas diferentes de partido, en lugar de utilizar conocido modularidad de los resultados para hacer los cálculos).

El uso de pari o magma veo que $K$ es unramified fuera de 2, y el ideal (2) es un 8 de poder en los enteros de $K$. Para calcular el director de la $\rho$ el enfoque ingenuo es averiguar la mayor ramificación de los grupos a los 2 y, a continuación, sólo el uso de la fórmula habitual. Pero el único equipo del álgebra paquete sé que se compute mayor ramificación de los grupos es de magma, y si puedo crear la división de campo de la $f$ $\mathbf{Q}_2$ (calculada utilizando pari "polcompositum" comando)

Qx<x>:=PolynomialRing(Rationals());
g:=x^8 + 20*x^6 + 146*x^4 + 460*x^2 + 1681;
L := LocalField(pAdicField(2, 50),g);
DecompositionGroup(L);

luego me pongo un instante desbordamiento de memoria (magma quiere 2.5 gigas para ello, al parecer), y además los otros cálculos, tendría que hacer yo, si fuera a ser el seguimiento de esta idea sería la de cosas como

RamificationGroup(L, 3);

que al parecer se necesitan 11 gigas de ram para funcionar. Ouch. Tenga en cuenta también que si me tire de la precisión de la $p$-ádico campo de abajo a partir de los 50, a continuación, el magma se queja de que la precisión no es lo suficientemente grande como para hacer algo de aritmética en $L$ que se quiere hacer.

Creo que entonces mi pregunta debe ser: ¿hay algún sistema de álgebra recursos que se compute mayor ramificación de los grupos de campos locales sin necesidad de cantidades exorbitantes de la memoria? O es realmente un "11-conciertos" cálculo que quiero hacer?? Y tal vez otra pregunta es: ¿hay otra manera de calcular el conductor de un (no abelian imagen finita) Galois representación sin tener que calcular estas mayor ramificación de los grupos (y sin la computación cualquiera de las formas modulares)?

Answer 1

Es bastante tarde en el día, pero hay una manera fácil de llegar a toda la Hasse-Herbrand función de $\varphi^K_{\mathbb{Q}_p}(x)$ si usted sabe que el polinomio mínimo $F$ de un primer elemento $\pi$. En primer lugar, anote el copolygon (valoración de la función) de $F(X+\pi)$ mediante la valoración normalizada a ha $v(p)=1$, luego se estira horizontalmente por un factor de $[K\colon\mathbb{Q}_p]$, entonces usted se mueve hacia abajo y a la izquierda por una unidad, para obtener el numeraciones coherente con Serre de la convención. Los vértices en el caso de son $(1,1)$, $(3,2)$ y $(5,5/2)$. Yo no podía entender por la flor de la Galois de cierre hasta que vi la extensión cuadrática $\mathbb{Q}_2(\zeta_8)$. En cualquier caso, la cadena de campos correspondientes a la ramificación de filtración es $\mathbb{Q}_2\subset\mathbb{Q}_2(i)\subset\mathbb{Q}_2(\zeta_8) \subset K$. No hace falta decir, que no necesita ningún tipo de paquete poderoso para hacer este tipo de cálculo.

Answer 2

También puede calcular de mayor ramificación de los grupos en Sage. En el momento en que se da menor numeración, no superior numeración, pero aquí va de todos modos:

sage: Qx.<x> = PolynomialRing(QQ)

sage: g=x^8 + 20*x^6 + 146*x^4 + 460*x^2 + 1681

sage: L.<a> = NumberField(g)

sage: G = L.galois_group()

sage: G.ramification_breaks(L.primes_above(2)[0])

{1, 3, 5}

También puede obtener explícita presentaciones de G como una permutación de grupo y de los generadores de ramificación y la descomposición de los subgrupos. El anterior solo tarda alrededor de la mitad de un segundo en mi viejo portátil-sin 2.5 gigas cálculos aquí.

(El punto es que es mucho más fácil hacer cálculos sobre un campo de número, porque todo es exacto, en lugar de sobre un p-ádico de campo, que es representado inexactly.)

Answer 3

Mientras que no necesariamente responde a su pregunta en su totalidad, La base de datos de campos locales de John Jones cubrirá algunos casos p. ej. su ejemplo f $\mathbf{Q}_2$ al parecer tiene saltos de ramificación superior en 2, 3 y 7/2. Mirando los trabajos sobre la base de datos puede apuntar a algún código más general que se puede utilizar...