¿Es esta una prueba válida? Encontrar $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}$

Question

He "solucionado" este límite usando coordenadas polares, pero mi pregunta es: es esto una prueba definitiva de que el límite existe? O tal vez hay alguna ruta que me perdí cuando me transforma a coordenadas polares?

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}=\lim_{r \to 0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}=\lim_{r \to 0}\frac{r^2}{r\sqrt{1+\frac{1}{r^2}}-1}=\lim_{r \to 0}\frac{r}{\sqrt{1+\frac{1}{r^2}}-1}=0$

Así que a través de las coordenadas polares, el límite es cero. Pero tal vez hay un camino que me perdí y el límite a través de un camino que no tiende a cero?

Tenga en cuenta que yo no estoy haciendo sobre este problema. Mi pregunta es una pregunta de carácter general - hace coordenadas polares tapa de cambio de todos los posibles caminos?

Edit: por Favor, Lea: me doy cuenta de que he cometido un error, El $r$ en el denominador no puede ser cancelado, yo estaba descuidada y olvidada. Gracias por el aporte. Todavía estoy muy interesado en saber si las coordenadas polares cubrir todas las rutas, que es el punto original de esta pregunta. No para resolver este problema en particular.

Answer 1

Creo que cometiste un error en la última parte. Y si aplica la coordenada polar correctamente (aunque en general puede que no simplifique el problema), le dará la respuesta correcta.

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}=\lim_{r \to 0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1}=\lim_{r \to 0}\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{r^2+1-1}=\lim_{r \to 0}\sqrt{r^2+1}+1=2$

Answer 2

Estabas casi allí. Use conjugados:

PS

Answer 3

Sí, las coordenadas polares pueden hacerlo, ya que cualquier punto$(x,y)$ puede expresarse como algún$(r\cos\theta,r\sin\theta)$.

Por ejemplo,$$\frac{x-y}{x+y}=\frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{r\cos\theta+r\sin\theta}=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}$ $ no tiene límite ya que la última expresión es indeterminada.

Su ejemplo dado es un poco diferente, ya que$\theta$ no aparece explícitamente, por lo tanto, en realidad es un límite$1D$$$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}=\lim_{x^2+y^2\to0}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}=\lim_{t\to0^+}\frac{t}{\sqrt{t+1}-1}.$ $

Answer 4

Tal vez cometió un error en la última parte, cuando semplifica$r$. Los invito a considerar este otro enfoque. Tenemos ese$$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2} \ \ (x\rightarrow 0)$ $ Por lo tanto,$$\sqrt{1+x^2+y^2}-1\sim \frac{x^2+y^2}{2} \ \ (x,y\rightarrow 0)$ $ Entonces el límite es 2. Podemos verificarlo. $$\left|\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}-2\right|=\left|\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{x^2+y^2}-2\right|$ $ que es$$\left|\sqrt{x^2+y^2+1}-1\right|\leq \left|\frac{x^2+y^2}{2}+1-1\right|\leq \frac{x^2+y^2}{2}$ $ y tiende a cero.