Teorema de Cauchy vs. Teorema fundamental de la integración de contornos.

Question

El teorema fundamental de la integración de contornos dice que si se tiene una función y su antiderivada, y se integra la función sobre un bucle cerrado el resultado es cero.

El teorema de Cauchy (versión de Goursat) dice que la integral de una función en un dominio holomorfo en un bucle cerrado es cero.

El teorema de Cauchy es aparentemente mucho más fuerte, la demostración es ciertamente más intrincada. ¿Puede alguien dar ejemplos triviales y no triviales de integrales a las que se aplique el Teorema de Cauchy y a las que no se aplique el FTCI?

Una vez demostrado el Teorema de Cauchy, ¿el FTCI sirve para algo?

Answer 1

Yo diría que el "teorema fundamental de la integración de contornos" es el siguiente.

Teorema fundamental de la integración de contornos: Dejemos que $U\subseteq\mathbb{C}$ sea un conjunto abierto, y sea $f\colon U\to \mathbb{C}$ sea una función continua. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $f$ tiene una antiderivada en $U$ .
2. Para toda curva cerrada diferenciable a trozos $\gamma$ en $U$ la integral $\int_\gamma f\,dz = 0$ .

Obsérvese que el teorema no no decir que todas las funciones holomorfas satisfacen necesariamente las dos condiciones equivalentes. De hecho, hay situaciones en las que no lo hacen. Por ejemplo, si $U = \mathbb{C}\smallsetminus\{0\}$ y $f(z) = 1/z$ entonces $f$ no tiene una antiderivada en $U$ aunque sea holomorfo. El teorema de Cauchy-Goursat nos dice una situación en la que se garantiza que las funciones holomorfas satisfacen las condiciones (1) y (2).

Cauchy-Goursat: Dejemos que $U\subseteq\mathbb{C}$ ser un simplemente conectado conjunto abierto. Entonces todas las funciones holomorfas $f\colon U\to \mathbb{C}$ satisfacen las condiciones equivalentes del teorema anterior.

Answer 2

El primer teorema dice lo siguiente: Si $f:\ \Omega\to{\mathbb C}$ es la derivada de algún $F:\ \Omega\to{\mathbb C}$ en un dominio $\Omega\subset{\mathbb C}$ entonces $\int_\gamma f(z)\ dz=0$ para todas las curvas cerradas en $\Omega$ . Esta es una "versión compleja" del hecho bien conocido del cálculo multivariable real de que $\int_\gamma \nabla F\cdot d{\bf x}=0$ para todos los casos diferenciables $F:\ \Omega\to{\mathbb R}$ y todas las curvas cerradas $\gamma\subset \Omega$ .

El teorema de Cauchy es mucho más profundo: Dice que una función que se cumple en cada punto $z_0\in \Omega$ la condición puramente local $$\exists \ \lim_{z\to z_0}{f(z)-f(z_0)\over z-z_0}=:f'(z_0)\in{\mathbb C} \ ,$$ tiene automáticamente todas las integrales a lo largo de curvas cerradas $\gamma\subset \Omega$ por largo que sea, igual a cero (si $\Omega$ no tiene agujeros).