$f$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b),$ y el conjunto de $\{x\in(a,b):f'(x)<0\}$ es contable.

Question

Supongamos que $f$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b),$ y asumir que el conjunto de $\{x\in(a,b):f'(x)<0\}$ es contable, entonces debemos tener

A.f is an increasing function.

B.f is decreasing  function.

C.f is neither increasing nor decreasing function.

D. Can't say anything.

Cómo resolver este problema ya ha derivado tanto de signo positivo como negativo? Por favor me ayude. Muchas gracias.

Answer 1

(migrado desde el comentario)

Como se ha señalado por otros usuarios, el conjunto de $\{ x \in (a, b) : f'(x) < 0 \}$ es necesariamente vacía.

Una explicación utiliza el hecho de que la derivada de una función derivable satisface intermedio valor de la propiedad, independientemente de su continuidad (Este es el llamado teorema de Darboux.):

Supongamos que tenemos $x_0 \in (a, b)$$f'(x_0) < 0$. Ya sabemos también que, a $f'(x_1) \geq 0$ algunos $x_1 \in (a, b)$, el valor intermedio de la propiedad nos dice que para cada una de las $y$$f'(x_0)$$f'(x_1)$, $c$ $x_0$ $x_1$ tal que $f'(c) = y$. En particular, debería de existir una cantidad no numerable de puntos en $(a, b)$ a que $f'(x) < 0$.

Answer 2

Es posible que ese $f'(x)=0$ en el que no es ni creciente ni decreciente. Podría ser $f'(x)>0$ todos los $x$, en cuyo caso se está incrementando.

Así como no podría ser de aumento y que podría estar haciendo ni que no puede ser determinado.

Que es un muy cobarde respuesta. Pero legítimo.