Peculiar de Hamilton espacio de Fase

Question

Yo era la solución de un ejercicio de la mecánica clásica :

Considere el siguiente hamiltoniano

$H(p,q,t) = \frac{p^2}{2m} + \lambda pq + \frac{1}{2}m\lambda^2\frac{q^6}{q^4+\alpha^4}$

Donde $\lambda,m,\alpha$ son positivas parámetros.

Después de haber resuelto las ecuaciones de movimiento, me pareció algo extraño, y el trazado de la fase de espacio (p,q) (que es y,x abajo) uno puede encontrar que hay bucles en que el impulso nunca cambia de signo, sin embargo, el sistema está localizado (bucle)

Qué tipo de sistema físico hace un hamiltoniano describir ? No puedo imaginar algo con un resonador, nunca cero impulso, pero todavía localizada en el espacio. Sé que esto sucede a causa de la cruz de término, pero no puedo encontrar una interpretación para la que

Answer 1

La clave dentro de OP pregunta ya ha sido proporcionada por Ikiperu en comentarios anteriores. Aquí sólo queremos mostrar que el problema se vuelve muy sencillo para estudiar en la correspondiente formalismo de Lagrange.

El Hamiltoniano lee

$$\tag{1} H(p,q) ~:=~ \frac{p^2}{2m} + \lambda pq + \frac{m\lambda^2}{2}\frac{q^6}{q^4+\alpha^4}. $$

Ya que no hay tiempo explícito de la dependencia en (1), el Hamiltoniano (= la energía mecánica del sistema) se conserva. La velocidad puede ser calculada a partir de la ecuación de Hamilton

$$\tag{2} \dot{q}~=~\frac{\partial H}{\partial p}~=~\frac{p}{m}+ \lambda q. $$

Si eliminamos el impulso

$$\tag{3} \frac{p}{m}~=~ \dot{q}-\lambda q $$

en el Hamiltoniano (1), obtenemos una sorprendentemente simple función de la energía

$$\tag{4} h(q,\dot{q})~=~ \frac{m}{2}\dot{q}^2+V(q). $$

Aquí el potencial de $V(q)$ es el doble de bien

$$\tag{5} V(q)~=~ -\frac{m\alpha^2}{2}\frac{\lambda^2}{\left(\frac{q}{\alpha}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{q}\right)^2} ,$$

que tiene dos posiciones estables

$$\tag{6} q~=~\pm \alpha.$$

En $(q,\dot{q})$ espacio, hay dos puntos estables

$$\tag{7} (q,\dot{q})~=~(\pm \alpha,0)$$

en la horizontal $q$-eje.

En $(q,p)$ el espacio de fase, los dos puntos estables

$$\tag{8} (q,p)~=~\pm \alpha(1,-m\lambda)$$

se desplazan a través de la transformación (3), de conformidad con el OP de la figura.