Si p es primo y p| $a^n$ demostrar que $p^n|a^n$

Question

Si p es primo y p| $a^n$ demostrar que $p^n|a^n$ .

Entiendo la idea pero tengo problemas para escribir la prueba formal.

¿Es correcto?

Supongamos que $p$ es primo y $p$ | $a^n$ . Entonces $p|a$ $\implies $$ a=pk $ , $ k $ $ \en \mathbb{Z}. $ But then $ a^n $= $ (pk)^n $=$ p^nk^n $ and so $ p^n $|$ p^nk^n $. Hence $ p^n $|$ a^n$

Answer 1

Sugerencia: Si $p$ es primo y $p|ab$ entonces $p|a$ o $p|b$ .

Answer 2

En $p \ | \ a^n$ obtenemos que $p$ es un factor primo de $a^n$ . Supongamos $p \nmid a$ entonces como $p \ | \ a^n$ esto implica que dos factores de $a$ (posiblemente el mismo y ambos mayores que 1) llámalos $k, m$ existe tal que $p=km$ lo cual es absurdo ya que, de nuevo, $p$ es primo. Estos factores provendrían de diferentes términos del $a^n$ expansión.