¿Cuál es el número máximo de puntos racionales que pueden estar en una circunferencia en $\mathbb{R}^2$ cuyo centro no es un punto racional?

Question

Este es un Putnam que encontré hace unas semanas, creo que lo resolví, pero algo me parece mal en mi planteamiento, ¿puede alguien comprobar si mi solución es correcta o no?

Entonces, como estoy buscando el máximo puedo establecer condiciones ideales, por ejemplo, una circunferencia de un radio tal que $(0,1)$ está en la circunferencia, entonces, si elijo cualquier secante con pendiente racional que pase por $(0,1)$ tiene que pasar por un punto racional, ya que tendríamos un sistema de ecuaciones de grado $2$ y ya conocemos una de las soluciones, principalmente, $(0,1)$ que es un punto racional, y sabemos que si una ecuación cuadrática tiene una solución racional, la otra solución debe ser también racional. Entonces, sólo tenemos que tomar cada secante con pendiente racional que pase por $(0,1)$ y cortaríamos en un punto racional que se encuentra en la circunferencia, por lo tanto, hay infinitos puntos racionales que se encuentran en esa circunferencia.

Lo que no me parece bien, es que esto no es algo nuevo, vi una idea muy similar en mi clase de teoría de números cuando encontramos todos los tripletes pitagóricos. Pero esto es un Putnam, no esperaría encontrar una respuesta así. ¿Podría alguien decirme si mi procedimiento es correcto o no?

Answer 1

Dados dos puntos con coordenadas racionales, la ecuación de la perpendicular bisectriz del segmento que limitan tiene coeficientes racionales. Por tanto, dado un triángulo con vértices de puntos racionales, el circuncentro es también un punto racional ya que es la intersección de las bisectrices de los lados (que tienen ecuaciones con coeficientes racionales).

Por lo tanto, una circunferencia con un punto irracional como centro puede tener como máximo dos puntos racionales.