Encontrar el número de soluciones de $(x-1)^2+\lceil x \rceil=4$

Question

Encontrar el número de soluciones de $$(x-1)^2+\lceil x \rceil=4$$

He podido comprobar que no hay soluciones integrales ya que , para $x$ un número entero tenemos

$$(x-1)^2+x=4$$

$$x^2-x-3=0$$ que tiene raíces no enteras.

¿Qué hay de las soluciones no enteras sin graficar?

Answer 1

Desde $x\le \lceil x\rceil\lt x+1$ Tenemos que tener $$x\le 4-(x-1)^2\lt x+1$$ dando $$x\in\bigg[\frac{1-\sqrt{13}}{2},-1\bigg)\cup\bigg(2,\frac{1+\sqrt{13}}{2}\bigg]$$ lo que implica $\lceil x\rceil=-1,3$ .

Para $\lceil x\rceil =-1$ tenemos $(x-1)^2=4-(-1)\implies x=1\pm\sqrt 5$ . Pero $x=1+\sqrt 5$ no satisface $\lceil x\rceil =-1$ .

Para $\lceil x\rceil=3$ tenemos $(x-1)^2=4-3\implies x=0,2$ . Ambos no satisfacen $\lceil x\rceil =3$ .

Por lo tanto, la única solución es $x=1-\sqrt 5$ .

Answer 2

Es fácil comprobar que $-2 < x < 3$ . Consideremos ahora cada uno de los casos $i < x \le i+1$ , $i=-2 \ldots 2$ . En el intervalo $i < x \le i+1$ , $(x-1)^2 + \lceil x \rceil = (x-1)^2 + i+1$ que es monótona en $x$ con límites $(i-1)^2 +i+1$ como $x \to i$ y $i^2+i+1$ a la derecha. Así, los valores de sus funciones están en los intervalos $[3,8)$ , $[1,4)$ , $[1,2)$ , $(2,3]$ y $(4,7]$ respectivamente para $i=-2,-1,0,1,2$ . El único caso en el que $4$ está en el intervalo es $i=-2$ así que hay exactamente una solución.