¿por qué la integración por partes dar una respuesta diferente

Question

por lo que sé la respuesta para $\int{\frac{x \, dx}{(x+b)^{2}}} \quad \textrm{is} \quad \frac{b}{x+b} + ln|x+b| $

Pero he tratado de integración por partes y se obtuvieron los siguientes, Establecimiento $ u= x, \, du=dx, \, dv = \frac{dx}{(x+b)^{2}}, \, v=\frac{-1}{x+b} $

$ \int{\frac{x \, dx}{(x+b)^{2}}}= \frac{-x}{x+b} + ln|x+b|$

¿Tiene nada que ver con las posibles singularidades en el integrando?

Answer 1

Ambos resultados son verdaderas, que sólo difieren por una constante :

$$ \frac {x}{x+b} + \ln|x+b|=\frac{-x-b+b}{x+b}+\ln|x+b|=\color{red}{-1}+\frac{b}{x+b}+\ln|x+b|. $$