Si $p$ es una extraña prime, quiero mostrar que la $$\sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta^{-1} = \sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta = 0$$
Ahora sé que $\mathbb{Z}_p^\ast = \{1,\dots,p-1\}$, por lo que $$\sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta = \sum_{i=1}^{p-1}i = \frac{(p-1)p}{2}.$$ Desde $p$ es impar, $2 \mid p-1$, por lo que este es el entero $pq$ donde $q = (p-1)/2$. Como $p \mid pq$, se deduce que el $pq \equiv 0 \mod p$, así que tengo que $$\sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta = 0.$$
Sé que el conjunto de invertible elementos de un modulo principal es equivalente al conjunto de sus inversas, de modo que $$\sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta^{-1} = \sum_{\beta \in \mathbb{Z}_p^\ast} \beta$$ only differs by the order in which the elements of $\mathbb{Z}_p^\ast$ se agregan, pero no estoy seguro de cómo se muestran de forma explícita este.
Sería un enfoque viable ser para mostrar que no es un bijective mapa de $f: \mathbb{Z}_p^\ast \rightarrow \mathbb{Z}_p^\ast$ tal que $\beta \mapsto \beta^{-1}$?
