CASO 1
Vamos a discutir número no negativo integral de soluciones de la ecuación :
$$a_1+a_2...a_r=n$$
Permite considerar todos los números naturales($0$ no incluido). El $n$ términos puede ser escrito como $1+1+1...$, por lo que podemos optar $(r-1)$ + signos de $(n-1)$ + signos de derecha a izquierda. Números restantes agregar y formar una solución. Por lo tanto, el número de soluciones :
$$\text{Empty boxes not allowed}$$
$$\binom{n-1}{r-1}$$
Si todos los números son números enteros($0$ incluido) :
Agregar $r$ a ambos lados para obtener : $$(a_1+1)+(a_2+1)...(a_r+1)=n+r$$
Esto no afecta el número de soluciones a $a_i+1$ que es un número natural ahora. Por lo tanto, el número de soluciones son :
$$\text{Empty boxes allowed}$$
$$\binom{n+r-1}{r-1}$$
Pequeñas Variaciones :
- Para similar los límites inferiores como mayor que $1$, proceder de acuerdo como se indica arriba y agregar lo que usted piensa que va a hacer es un número natural.
- ¿Qué pasa si uno es un número par?
$$2a_1+a_2...a_r=n$$
$$a_2+a_3...a_r=n-2a$$
Número de soluciones son :
$$\sum{\binom{n-2a-1}{r-2}}$$
La suma debe ir para todos los posibles valores de $a$. Proceder para casos similares, como varios de $3$ etc...
. Lo que si tengo menos de signo?
Introducir una variable ficticia y el recuento de casos por $r+1$ bolas. Tenga en cuenta que la variable ficticia es un número natural. Si el signo es $\le$, es un número entero.
Caso 2 :
Después de hacer el duro trabajo tanto en el caso 1, que es elemental. Sólo se debe multiplicar por $n!$ para cada uno de los correspondientes sub-caso. Tenga en cuenta que el orden aquí implica balón $1$ antes $2$ cuadro $1$ es diferente de la que va después de la bola de $2$.
Adecuado de la aplicación : De cuántas maneras puede $10$ de la gente va por $3$ puertas lo suficientemente amplia como para $1$ persona ?
Respuesta : cajas Vacías permitido. $3$ cajas. $10$ bolas. Orden considerado. Por lo tanto :
$$\binom{10+3-1}{3-1}10!$$
Caso 3:
Cajas vacías permitido :
Cada bola tiene la opción de ir a $r$ cajas. Por lo tanto: $$r^n$$
Tenga en cuenta que si alguna vez te has confundido lo que es elevado para lo que es $$\text{repeatable}^\text{non-repeatable}$$
Esto es así porque la pelota no puede ser en $2$ cajas. Pero, una caja puede tener $2$ bolas.
Cajas vacías no se permite :
Por la inclusión de exclusión, en primer lugar el recuento de casos $r^n$, a continuación, quitar donde uno estaba vacío, tal como : $\binom{r}{1} (r-1)^n$ pero, de nuevo nos quite donde 2 estaban vacías de este. Como utilizamos $-$ dentro de los corchetes anidados, alternativo plus minus aparecerá :
$$r^n-\binom r 1 (r-1)^n+\binom r 2 (r-2)^n...$$
Usted puede continuar hasta llegar a $0^\text{something}$.
