¿Es un espacio $\sigma$-compacto de Hausdorff normal?

Question

¿Son los espacios de Hausdorff $\sigma$-compactos normales?

Answer 1

Puede haber cierta confusión basada en definiciones. El texto de Engelking, en particular, define los espacios $\sigma$-compactos como espacios regulares (T$_3$) que son la unión numerable de subespacios compactos. Con esto, la respuesta original de Brian funciona. (No puedo enfatizar lo suficiente que su respuesta actual funciona perfectamente bien.)

Sin embargo, si eliminas la regularidad de la definición de $\sigma$-compacidad, puedes obtener contraejemplos, como menciona Brian arriba. Otro ejemplo es el siguiente: Sea $A = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \}$, y dale a $\mathbb{R}$ la topología declarando que los conjuntos abiertos son de la forma $U \setminus B$ donde $U \subseteq \mathbb{R}$ es abierto en la topología usual de la métrica y $B \subseteq A$.

• Dado que esta topología es más fina que la topología usual de la métrica, se sigue que este espacio es Hausdorff.
• Es $\sigma$-compacto ya que puedes cubrir $\mathbb{R}$ con una cantidad numerable de intervalos cerrados (limitados) que cada uno contiene solo finitos elementos de $A$.
• Sin embargo, este espacio no es regular porque $A$ es cerrado en la nueva topología, pero no hay un par de conjuntos abiertos disjuntos alrededor de $0$ y $A$, respectivamente.

Answer 2

Sí. Todo espacio $\sigma$-compacto es Lindelöf, todo espacio $\sigma$-compacto de Hausdorff es $T_3$ (regular y $T_1$), y todo espacio Lindelöf $T_3$ es $T_4$ (normal y $T_1$).

Corrección: Aparentemente no estaba despierto cuando escribí eso. Hay espacios Hausdorff contables que no son regulares, por lo que el resultado es en realidad falso en general. Sin embargo, si tienes alguna propiedad que garantice la regularidad, obtienes la normalidad de forma gratuita.

Para un ejemplo de un espacio Hausdorff contable que no es regular, consulta esta respuesta a una pregunta anterior relacionada.