Reflejan los puntos en un cuadrado para hacerla más grande

Question

Se dan cuatro puntos (sobre un plano Euclídeo) que conforman las esquinas de un cuadrado. Usted puede cambiar las posiciones de los puntos de una secuencia de movimientos. Cada movimiento que cambia la posición de un punto, digamos p, a una nueva ubicación, es decir, p', por "omitir" uno de los otros 3 puntos. Más precisamente, p salta por encima de un punto q si se mueve a la diametralmente opuesta lado de q. En otras palabras, un movimiento de p a p' está permitido si existe un punto q tal que $q = (p + p') / 2$.

Encontrar una secuencia de movimientos que se traduce en un cuadrado más grande. O, si no hay esa secuencia es posible, dar una prueba de por qué no es posible. (La nueva plaza no necesitan ser orientados de la misma manera que el original de la plaza. Por ejemplo, la plaza mayor puede ser girado 45 grados a partir de la original, y la plaza mayor puede tener los puntos en un orden diferente en el original de la plaza.)

He probado muchas combinaciones diferentes y todavía no han conseguido nada más que 3 puntos en la posición correcta y un punto completamente apagado. Es esto posible?

Answer 1

Si esto fuera posible, la secuencia de movimientos a partir de la plaza de ABCD al final cuadrado EFGH podría ser revertido, dando un movimiento de secuencia a partir de un mayor a un cuadrado más pequeño. Si un sistema de coordenadas se establece basándose en la plaza mayor, haciendo que corresponden a los puntos de $(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)$, entonces todos los movimientos realizados empezando por la plaza mayor tendrá un punto con coordenadas enteras otro de los puntos con coordenadas enteras. Pero esto significa que no podemos acabar con el pequeño cuadrado ABCD deseado, ya que el cuadrado más pequeño en el nuevo sistema de coordenadas con el entero de coordenadas de los vértices es una unidad cuadrada en ese sistema.