El Primer Grupo de Homología Obtenidos mediante la Fijación de una cinta de Moebius a un Toro en una Cierta Manera.

Question

Deje $M$ $\mathbb{T}^{2}$ denotar la cinta de Moebius y el toro, respectivamente. Supongamos que atribuimos $M$ $\mathbb{T}^{2}$envolviendo el límite del círculo de $C$ $M$ alrededor del primer círculo del torus $k$ momento, es decir, tenemos un continuo adjuntar mapa de $f: C \to \mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \} \subseteq \mathbb{T}^{2}$ de la liquidación de número de $k$. Entonces lo que sería el primer grupo de homología de la resultante de contigüidad espacio de $X = M \sqcup_{f} \mathbb{T}^{2}$?

Establecer teóricamente, tenemos $$X = (M \times \{ 0 \}) \cup (\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}) \Big/ \sim,$$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia definida por $(x,0) \sim (f(x),1)$ todos los $x \in M$. A continuación, considere las siguientes dos subespacios de $X$: $$A = [M \times \{ 0 \}]_{\sim} \quad \text{y} \quad B = [\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim}.$$ Su intersección es $[C \times \{ 0 \}]_{\sim} = [(\mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \}) \times \{ 1 \}]_{\sim}$. Escoge un abrir vecindario $U$ $A$ y un vecindario $V$ $B$ tal que $U$ $V$ deformación retraer a $A$ $B$ respectivamente. A continuación, $U \cap V$ deformación se retrae en $A \cap B = [C \times \{ 0 \}]_{\sim}$. Como $\{ U,V \}$ es una cubierta abierta de a $X$, podemos aplicar la de Mayer-Vietoris secuencia.

Mi problema es averiguar lo que la asignación de $$\requieren{AMScd} \begin{CD} {H_{1}}(U \cap V) @>{i_{*} \oplus j_{*}}>> {H_{1}}(U) \oplus {H_{1}}(V) \end{CD}$$ se parece. La deformación de retracción reduce el problema a analizar la asignación de $$\begin{CD} {H_{1}}([C \times \{ 0 \}]_{\sim}) @>{i_{*} \oplus j_{*}}>> {H_{1}}([M \times \{ 0 \}]_{\sim}) \oplus {H_{1}}([\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim}). \end{CD}$$ Mis preguntas son:

• Es $[C \times \{ 0 \}]_{\sim}$ homeomórficos a $\mathbb{S}^{1}$? Esto no es muy sencillo debido a $\sim$ colapsa conjuntos de $k$ $C \times \{ 0 \}$ los embarazos únicos. En el caso de $k = 2$, sé que la respuesta es 'sí', porque el $\sim$ restringido a $C \times \{ 0 \}$ se comporta como si se tratara de identificar antipodal puntos en $\mathbb{S}^{1}$, y es bien sabido que la identificación de antipodal puntos en $\mathbb{S}^{1}$, el resultado es $\mathbb{RP}^{1}$, que es homeomórficos a $\mathbb{S}^{1}$.

• Supongamos que la respuesta a la pregunta anterior es " sí " para $k$ en general. Entonces, ¿cómo la homología de la clase fundamental del ciclo de $\gamma$ $[C \times \{ 0 \}]_{\sim}$ mapa a ${H_{1}}([M \times \{ 0 \}]_{\sim})$ bajo $i_{*}$? Creo que la respuesta a esto es $$(i_{*})([\gamma]) = \pm 2 \cdot [\text{Generación de core bucle de $ M $}],$$ donde el signo depende de la orientación que estamos utilizando.

• Del mismo modo, ¿cómo se $[\gamma]$ mapa a ${H_{1}}([\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim})$ bajo $j_{*}$?

Answer 1

EDIT: hubo algunos errores aquí, quise escribir $[(\mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \}) \times \{ 1 \}]$. Aquí está la respuesta correcta para $C$: desde $f$ es un grado $k$ mapa, podemos homotope a la mapa estándar $f_k: e^{i \theta} \rightarrow e^{ i k \theta}$. Esto le da un homotopy $S^1/f$$S^1/f_k = S^1$.

La segunda cuestión es crucial. Si usted va alrededor del círculo en $S^1 \subset \mathbb{T}^2$ una vez, a continuación, la fijación de mapa te llevará alrededor de $S^1 = \partial M$, $k$ veces más. Cuando usted vaya a la homología, esto va a $2 k$, así que en total $[ \gamma ] \rightarrow 2k [ \gamma ]$. Sólo ir alrededor de la $\mathbb{T}^2$ una vez, por lo que el mapa es sólo $[ \gamma ] \rightarrow [ \gamma ]$.

Espero que esto ayude!