El Primer Grupo de Homología Obtenidos mediante la Fijación de una cinta de Moebius a un Toro en una Cierta Manera.

Question

Deje $ M $ $ \mathbb{T}^{2} $ denotar la cinta de Moebius y el toro, respectivamente. Supongamos que atribuimos $ M $ $ \mathbb{T}^{2} $envolviendo el límite del círculo de $ C $ $ M $ alrededor del primer círculo del torus $ k $ momento, es decir, tenemos un continuo adjuntar mapa de $ f: C \to \mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \} \subseteq \mathbb{T}^{2} $ de la liquidación de número de $ k $. Entonces lo que sería el primer grupo de homología de la resultante de contigüidad espacio de $ X = M \sqcup_{f} \mathbb{T}^{2} $?

Establecer teóricamente, tenemos $$ X = (M \times \{ 0 \}) \cup (\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}) \Big/ \sim, $$ donde $ \sim $ es la relación de equivalencia definida por $ (x,0) \sim (f(x),1) $ todos los $ x \in M $. A continuación, considere las siguientes dos subespacios de $ X $: $$ A = [M \times \{ 0 \}]_{\sim} \quad \text{y} \quad B = [\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim}. $$ Su intersección es $ [C \times \{ 0 \}]_{\sim} = [(\mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \}) \times \{ 1 \}]_{\sim} $. Escoge un abrir vecindario $ U $ $ A $ y un vecindario $ V $ $ B $ tal que $ U $ $ V $ deformación retraer a $ A $ $ B $ respectivamente. A continuación, $ U \cap V $ deformación se retrae en $ A \cap B = [C \times \{ 0 \}]_{\sim} $. Como $ \{ U,V \} $ es una cubierta abierta de a $ X $, podemos aplicar la de Mayer-Vietoris secuencia.

Mi problema es averiguar lo que la asignación de $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} {H_{1}}(U \cap V) @>{i_{*} \oplus j_{*}}>> {H_{1}}(U) \oplus {H_{1}}(V) \end{CD} $$ se parece. La deformación de retracción reduce el problema a analizar la asignación de $$ \begin{CD} {H_{1}}([C \times \{ 0 \}]_{\sim}) @>{i_{*} \oplus j_{*}}>> {H_{1}}([M \times \{ 0 \}]_{\sim}) \oplus {H_{1}}([\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim}). \end{CD} $$ Mis preguntas son:

• Es $ [C \times \{ 0 \}]_{\sim} $ homeomórficos a $ \mathbb{S}^{1} $? Esto no es muy sencillo debido a $ \sim $ colapsa conjuntos de $ k $ $ C \times \{ 0 \} $ los embarazos únicos. En el caso de $ k = 2 $, sé que la respuesta es 'sí', porque el $ \sim $ restringido a $ C \times \{ 0 \} $ se comporta como si se tratara de identificar antipodal puntos en $ \mathbb{S}^{1} $, y es bien sabido que la identificación de antipodal puntos en $ \mathbb{S}^{1} $, el resultado es $ \mathbb{RP}^{1} $, que es homeomórficos a $ \mathbb{S}^{1} $.

• Supongamos que la respuesta a la pregunta anterior es " sí " para $ k $ en general. Entonces, ¿cómo la homología de la clase fundamental del ciclo de $ \gamma $ $ [C \times \{ 0 \}]_{\sim} $ mapa a $ {H_{1}}([M \times \{ 0 \}]_{\sim}) $ bajo $ i_{*} $? Creo que la respuesta a esto es $$ (i_{*})([\gamma]) = \pm 2 \cdot [\text{Generación de core bucle de $ M $}], $$ donde el signo depende de la orientación que estamos utilizando.

• Del mismo modo, ¿cómo se $ [\gamma] $ mapa a $ {H_{1}}([\mathbb{T}^{2} \times \{ 1 \}]_{\sim}) $ bajo $ j_{*} $?

Answer 1

EDIT: hubo algunos errores aquí, quise escribir $ [(\mathbb{S}^{1} \times \{ 1 \}) \times \{ 1 \}] $. Aquí está la respuesta correcta para $ C $: desde $ f $ es un grado $ k$ mapa, podemos homotope a la mapa estándar $ f_k: e^{i \theta} \rightarrow e^{ i k \theta} $. Esto le da un homotopy $ S^1/f $$ S^1/f_k = S^1 $.

La segunda cuestión es crucial. Si usted va alrededor del círculo en $ S^1 \subset \mathbb{T}^2 $ una vez, a continuación, la fijación de mapa te llevará alrededor de $ S^1 = \partial M $, $ k $ veces más. Cuando usted vaya a la homología, esto va a $ 2 k $, así que en total $ [ \gamma ] \rightarrow 2k [ \gamma ] $. Sólo ir alrededor de la $ \mathbb{T}^2 $ una vez, por lo que el mapa es sólo $ [ \gamma ] \rightarrow [ \gamma ] $.

Espero que esto ayude!