Sea $M$ una variedad suave. Me gustaría entender por qué el espacio de móduli de conexiones $U(1)$ planas modulo la equivalencia de gauge es el toro $$ H^1(M;\mathbb{R})/H^1(M;\mathbb{Z}). $$ ¿Cómo debo ver esto?
Respuesta
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jmracek
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No estoy seguro acerca de variedades arbitrarias, pero hay una respuesta fácil para superficies de Riemann compactas.
Sea $\Sigma\times G\to \Sigma$ el $G$-fibrado trivial sobre una superficie de Riemann compacta $\Sigma$. Existe una correspondencia biyectiva entre las clases de equivalencia de gauge de conexiones planas y las representaciones del grupo fundamental (en el grupo de gauge) $\mathrm{Hom}(\pi_{1}(\Sigma),G)$, modulo la conjugación por $G$.
Cuando $G = U(1)$ no tienes muchas opciones para una representación. El teorema de Seifert-Van Kampen da la siguiente presentación de $\pi_{1}(\Sigma) = \langle \alpha_{1},\beta_{1},\dots,\alpha_{g},\beta_{g} \,\vert\, \prod_{i} [\alpha_{i},\beta_{i}] = 1 \rangle$. ¿Cómo puedes describir una representación $\rho: \pi_{1}(\Sigma) \to G$? Simplemente elige un objetivo para cada uno de los generadores asegurando que las relaciones sigan satisfaciéndose. En este caso, $U(1)$ es abeliano así que no hay nada que hacer. Una representación es solamente una selección de $2g$ puntos en un círculo, es decir, tenemos que:
$\mathcal{A}_{fl} / \mathcal{G} = U(1)^{2g} = H^{1}(M;\mathbb{R})/H^{1}(M;\mathbb{Z})$
