Sobre el anillo polinómico $ \mathbb{R}[x,y] $ y las funciones seno y coseno.

Question

Estaba investigando las relaciones entre el álgebra conmutativa y el análisis real cuando se me ocurrió el siguiente problema.

El problema. Dejemos que $ P \in \mathbb{R}[x,y] $ . Si $ P(\sin(\theta),\cos(\theta)) = 0 $ para todos $ \theta \in \mathbb{R} $ Entonces, ¿es cierto que $ P $ se encuentra en el ideal principal $ \langle x^{2} + y^{2} - 1 \rangle $ ?

Este problema no parece difícil, pero todavía no he encontrado una solución. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $ A \stackrel{\text{df}}{=} \mathbb{R}[y] $ para que $ P \in A[x] $ . Como $ P $ es un monic polinomio, existen polinomios $ Q,R \in A[x] $ tal que $$ P = (x^{2} + y^{2} - 1) Q + R, $$ donde el $ x $ -grado de $ R $ es menor que $ 2 $ . Por lo tanto, podemos escribir $$ R(x,y) = f(y) x + g(y). $$

Ahora, supongamos que $ f(y) $ y $ g(y) $ no son cero. Entonces como \begin {align} \forall \theta \in \mathbb {R}: \quad 0 & = P( \sin ( \theta ), \cos ( \theta )) \\ & = R( \sin ( \theta ), \cos ( \theta )) \\ & = f( \cos ( \theta )) \cdot \sin ( \theta ) + g( \cos ( \theta )), \end {align} podemos deducir que $$ \forall t \in [0,1]: \quad f(t) \sqrt{1 - t^{2}} + g(t) = 0, $$ lo que implica que $ [f(t)]^{2} (1 - t^{2}) \equiv [g(t)]^{2} $ como polinomios. Esto se ve como una contradicción, simplemente mirando el orden de desaparición de ambos polinomios en $ t = 1 $ . Por lo tanto, $ P \in \langle x^{2} + y^{2} - 1 \rangle $ .