Único ultrafilter en $\omega$

Question

Sabemos que desde el axioma de elección (o simplemente BPIT) podemos deducir ultrafilter lema, el cual establece que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter. A partir de este lema podemos derivar la existencia de al menos 2 diferentes ultrafilters (ejemplo: tomar un ultrafilter que contiene el conjunto de los números pares y ultrafilter que contiene el conjunto de los números impares. Son distintas, ya que de lo contrario podría contener un conjunto junto con su complemento).

Me preguntaba si es posible (sin asumir ultrafilter lema) que existe exactamente un ultrafilter en $\omega$, o tal vez de uno de ultrafilter siempre podemos construir otro? Mi pregunta exacta es: ¿Es coherente con ZF que existe exactamente una ultrafilter en $\omega$?

Answer 1

Si existe un libre ultrafilter en $\omega$, entonces hay al menos $2^{\aleph_0}$.

Esto aparece como un ejercicio de Herrlich del Axioma de Elección, en la sección 4.3.

Allí se insinúa que uno debe usar el hecho de que existe una casi la desunión de la familia de los conjuntos de números enteros de cardinalidad $2^{\aleph_0}$, lo que es cierto sin el axioma de elección (nota, no exigimos a ser máxima, casi discontinuo).

Supongamos que $\{A_i\mid i\in I\}$ es de la familia, y $\cal U$ es un servicio gratuito de ultrafilter en $\omega$, luego por un bijection podemos generar $\cal U_i$ que es un servicio gratuito de ultrafilter en $A_i$, y tenga en cuenta que $\{X\mid X\cap A_i\in\cal U_i\}$ es un servicio gratuito de ultrafilter en $\omega$. Por otra parte, si $i\neq j$ $\cal U_i\neq U_j$ por razones obvias (por ejemplo,$A_i\in\cal U_i$, pero no en cualquier otro $\cal U_j$).