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¿Puede un valor propio (de un$n$ por$n$ matriz A) con multiplicidad algebraica$n$ tener un espacio propio con menos de$n$ dimensiones?

Es posible que una matriz cuyo polinomio característico $(λ−a)^3$ tener un eigenline (uno-dimensional espacio propio)?

Sé que la multiplicidad geométrica en general puede ser menor que la multiplicidad algebraica. Pero me preguntaba si algebraica multiplicidad $n$ podría ser un caso especial. Esta pregunta está motivada por mi anterior La mayor multiplicidad geométrica de un autovalor, donde aprendí que $A$ $n$- dimensional espacio propio fib. $A=\lambda I$.

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clintp Puntos 5127

Por supuesto. Considere la matriz $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end {pmatrix} $$ que tiene un único valor propio$1$ de multiplicidad$2$, pero las únicas soluciones a la ecuación $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end {pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end {pmatrix} = \begin{pmatrix} x +y \\ y\end {pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\end {pmatrix} $$ viene cuando$y=0$, y por lo tanto el espacio propio es$1$ - dimensional.

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Tutul Puntos 652

Sí. Tomemos, por ejemplo,$$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $ cuyo polinomio característico es$(\lambda-1)^3$, pero cuyo espacio propio es unidimensional (abarcado por$(1,0,0)$.)

Si la matriz es simétrica, esto no puede suceder sin embargo. (Este es un buen ejercicio para mostrar).

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John R. Strohm Puntos 1559

Algebraica multiplicidad $n$ no es un caso especial. Tome el siguiente operador, por ejemplo:

$$ T(w, z) = (z, 0) $$

Se tiene la siguiente matriz en la base estándar:

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

El polinomio característico es $z^2$. Sin embargo, $\operatorname{null}T$ es unidimensional (distribuido por $(1, 0)$).

Algebraica multiplicidad de un autovalor $\lambda$ es igual a $\operatorname{null}(T - \lambda I)^{\operatorname{dim}V}$. En este ejemplo, $\operatorname{null}T^2$ sí tiene 2 dimensiones.

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