Probar por inducción que$21 | 4^{n+1} + 5^{2n-1}$

Question

El problema que tengo es: Probar por inducción que 21 divide 4 ^{n +1} + 5 ^2n-1

Hasta ahora tengo:

Caso base:
$n = 1$
$4^{1+1} + 5^{2-1} = 4^2 + 5^1 = 16 + 5 = 21$

Paso inductivo:
Supongamos:$4^{k+1} + 5^{2k-1} = 3m$
$4^{(k+1)+1} + 5^{2(k+1)-1} = 3m$
$4^{k+2} + 5^{2k+1} = 3m$

Estoy bastante seguro de que estoy lejos de esto y no estoy seguro de a dónde ir.

Gracias

Answer 1

Puede continuar con el paso inductivo de la siguiente manera:

Supongamos que$$21 \mid 4^{k+1}+5^{2k-1}$ $ lo que implica$$21\mid 25(4^{k+1}+5^{2k-1})$$ $$\Longrightarrow21\mid 25(4^{k+1})+5^{2k+1}$ $ Podemos restar un múltiplo de$21$ en el lado derecho para obtener$$21\mid 25(4^{k+1})+5^{2k+1}-21(4^{k+1})$ $$$\Longrightarrow 21\mid4(4^{k+1})+5^{2k+1}$ $$$\Longrightarrow 21\mid4^{k+2}+5^{2k+1}$ $$$\Longrightarrow 21\mid4^{(k+1)+1}+5^{2(k+1)-1}$ $ Esto completa la prueba.

Answer 2

Considera esto:

PS