Análogo de un mapa abierto para estructuras uniformes

Question

En topología, una función es continuo si el imagen inversa de un conjunto abierto es abierto. Una función es Abrir si el imagen de un conjunto abierto es abierto.

La continuidad de la uniformidad puede definirse de forma similar a la continuidad. Un mapa $f$ entre dos espacios uniformes es uniformemente continua si el imagen inversa (bajo $f \times f$ ) de un séquito es un séquito.

Consideremos ahora el siguiente "análogo uniforme" de la apertura: el imagen (bajo $f \times f$ ) de un séquito es un séquito.

Pregunta . ¿Se ha estudiado esta propiedad? Y en caso afirmativo, ¿existe un nombre bien establecido para ella?

Motivación. Necesito esta propiedad en un caso muy especial y estoy buscando referencias.

Answer 1

Los mapas en cuestión parecen ser proyecciones uniformemente abiertas . Creo que los mapas uniformemente abiertos se introdujeron en E. Michael, Topologías sobre espacios de subconjuntos , Trans. Amer. Math. Soc. $\mathbf{71}$ ( $1951$ ), $152$ - $182$ . Si $\langle X,\mathscr{U}\rangle$ y $\langle Y,\mathscr{V}\rangle$ son espacios uniformes, un mapa $f:X\to Y$ es uniformemente abierto si para cada $U\in\mathscr{U}$ hay un $V\in\mathscr{V}$ tal que $f[U[x]]\supseteq V[f(x)]$ para cada $x\in X$ .

Supongamos que $f$ es una suryección uniformemente abierta, $U\in\mathscr{U}$ y $V\in\mathscr{V}$ es tal que $f[U[x]]\supseteq V[f(x)]$ para cada $x\in X$ . Sea $\langle y_0,y_1\rangle\in V$ ; luego hay $x_0,x_1\in X$ tal que $f(x_i)=y_i$ para $i=0,1$ y $\langle x_0,x_1\rangle\in U$ Así que $V\subseteq(f\times f)[U]$ y por lo tanto $(f\times f)[U]\in\mathscr{V}$ .

No he leído el artículo, pero Vitaly V. Fedorchuk y Hans-Peter A. Künzi, 'Mapeos uniformemente abiertos e incrustaciones uniformes de espacios de funciones' Topología y sus aplicaciones $\mathbf{61}$ ( $1995$ ), $61$ - $84$ parece discutirlos con bastante detalle.