Resolver $\int\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\;dx$ de la forma más sencilla

Question

Estoy intentando resolver un problema en mi libro:

$$\int\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\;dx$$

Estoy tratando de hacer esto sin utilizar ninguna técnica (por ejemplo, no u-sub, no partes ...) sólo usando lo que sé acerca de integrales básicas, por inspección. He tratado de tirar el denominador en el numerador para obtener alguna constante que puedo tirar delante del integrando, pero no he tenido éxito. Quiero ver cómo puedo simplificar esto y dividirlo en integrales más pequeñas que sean fáciles de calcular. Gracias.

Answer 1

Su función es

$$f (x)=\frac {1}{x-1} $$

la antiderivada es

$$F (x)=\ln (|x-1|)+C. $$

$F $ se define en un intervalo que no contiene ni $0$ ni $1$ .

Answer 2

La respuesta corta ya se ha dado; ésta engloba algunas de las observaciones y sutilezas.

Tenga en cuenta que: $$\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$$ se define para $x \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0,1 \right\}$ . Para $x \ne 0$ reescribir: $$\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\frac{x}{x}=\frac{1}{x-1}$$ Ahora fíjate en eso:

• para $x>1$ lo has hecho: $$\bigl( \ln(x-1) \bigr)' = \frac{1}{x-1}$$
• para $x<1$ lo has hecho: $$\bigl( \ln(1-x) \bigr)' = \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{x-1}$$

A menudo se abrevia como: $$\int \frac{1}{x-1} \,\mbox{d}x = \ln\left| x-1 \right| + C$$ pero lo siguiente sería más exacto: $$\int \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} \,\mbox{d}x = \begin{cases} \ln(x-1) + C_1 & \mbox{for } x > 1 \\ \ln(1-x) + C_2 & \mbox{for } 0 < x < 1 \\ \ln(1-x) + C_3 & \mbox{for } x < 0 \\ \end{cases}$$ De esta forma, se tiene el conjunto de todos los posibles antiderivadas (ya que las constantes no tienen por qué ser iguales en los distintos intervalos del dominio), que es lo que se suele entender por "integral indefinida".

Por supuesto, para cualquier integral definida en un intervalo $[a,b]$ que no contenga $x=0$ y $x=1$ elige un antiderivado apropiado.

Answer 3

La función dada puede simplificarse así:

f(x) = 1/(x-1)

La integral de esto es

F(x) = ln|x-1| + C. Donde x no está definido para 0 o 1.

Este es el método más sencillo para esta integral.