Integral impropia que involucra funciones modificadas de Bessel y su logaritmo.

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente integral:

PS

donde$$\int_0^\infty x \, K_1(ax) \,I_1(bx) \,\log \big[ I_1(bx) \big] \mathrm{d} x$ y$a$ son números reales positivos,$b$ y$I_1(x)$ son las funciones de Bessel modificadas del orden uno del primer y segundo tipo, respectivamente.

¿Hay alguna idea de cómo superar este problema?

¡Gracias!

Answer 1

Podemos notar que para cualquier$x\geq 0$:$$ \int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\frac{\cos(xz)}{(1+z^2)^{3/2}}\,dz = x\cdot K_1(x) \tag{1}$ $$$ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\exp(x\cos\theta)\cos\theta\,d\theta = I_1(x),\tag{2} $ $$$ K_1(x) = \int_{0}^{+\infty}\exp(-x\cosh t)\cosh t\,dt\tag{3}$ $ y nuestra integral está dada por:$$ \left.\frac{d}{d\lambda}\int_{0}^{+\infty} \!\!x\,K_1(ax)\,I_1(bx)^{\lambda}\,dx\,\right|_{\lambda=1}.\tag{4}$ $. Tenga en cuenta que, siempre que $z\to +\infty$,$$ I_1(z)\approx e^z\sqrt{\frac{1}{2\pi z}},\qquad K_1(z)\approx e^{-z}\sqrt{\frac{\pi}{2z}} \tag{5}$ $ así que$x\,K_1(ax)\,I_1(bx)$ no puede pertenecer a$L^1(\mathbb{R})$ si$\Re(b)>\Re(a)$.

Suponiendo$\Re(a-b)>0$ y definiendo$f(\lambda)=\int_{0}^{+\infty} \!\!x\,K_1(ax)\,I_1(bx)^{\lambda}\,dx$ tenemos:$$ f(1)=\int_{0}^{+\infty}x\,K_1(ax)\,I_1(bx)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{\cosh t\,\cos\theta}{(b\cos \theta-a\cosh t)^2}\,d\theta\,dt\tag{6}$ $ o:$$ f(1) = \int_{0}^{+\infty}\frac{b \cosh t}{(a^2\cosh^2 t-b^2)^{3/2}}\,dt = \int_{0}^{+\infty}\frac{b\,dz}{((a^2-b^2)+a^2 z^2)^{3/2}}=\color{red}{\frac{b}{a(a^2-b^2)}}\tag{7}$ $ El siguiente paso es derivar una ecuación funcional para$f(\lambda)$ para calcular$f'(1)$. Continúa