Subespacios de Hilbert Espacios de dimensión finita.

Question

Dado un espacio de Hilbert$H$ de dimensión finita, ¿por qué se cierra cualquier subespacio de este espacio? Intenté escribir una respuesta utilizando una secuencia de Cauchy arbitraria$\{ f_1 , f_2, \ldots \} \subset S \subset H $ y tratando de mostrar su límite$f \in S$. Me quedo atascado y sospecho que hay una respuesta fácil que me falta. ¿Podría alguien iluminarme sobre esto? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Deje que$S$ sea un subespacio de$H$ y$\{e_1,\dots,e_d\}$ una base ortonormal de$S$. Podemos completarlo como una base de$H$. Por el proceso de Gram-Schmidt, podemos asumir que esto proporciona una base ortonormal$\{e_1,\dots,e_d,f_1,\dots,f_N\}$ de$H$. Luego notamos que$S=\operatorname{Span}(f_j,1\leq j\leq N)^{\perp}$, y la ortogonal de un conjunto está cerrada.

Answer 2

Deje $H$ ser finito dimensional espacio de Hilbert y $V$ un subespacio de $H$. Si $V=0$, es obvio que $V$ es cerrado. Supongamos $V \ne 0$, y deje $v_1,\ldots, v_m$ ser un ortonormales base de $V$,$1 \le m \le \dim H$. Deje $x \in \overline{V}$ $(x^n)_n \subset V$ una secuencia convergente cuyo límite es $x$. Gracias a la de Cauchy-Schwarz desigualdad que tenemos para cada $1 \le k \le m$: $$ \left|\langle v_k,x\rangle_H-\langle v_k,x_n\rangle_H\right|=\left|\langle v_k,x-x_n\rangle_H\right| \le \|v_k\|_H\|x-x_n\|_H=\|x-x_n\|_H. $$ Por lo tanto $$ \lim_n\langle v_k,x_n\rangle_H=\langle v_k,x\rangle_H \quad \forall\ 1 \le k \le m. $$ De ello se sigue que $$ x=\lim_n x_n=\lim_n\sum_{k=1}^m\langle v_k,x_n\rangle_Hv_k=\sum_{k=1}^m\langle v_k,x\rangle_Hv_k, $$ es decir,$x \in V$. Por lo tanto $\overline{V} \subset V$, e $V$ es cerrado.

Answer 3

Un subespacio de un espacio vectorial de dimensiones finitas es siempre una intersección finita de hiperplanos.

Bajo la topología del espacio de Hilbert, los hiperplanos están cerrados (de hecho, son los conjuntos cero de formas lineales).

Answer 4

Mientras que yo, personalmente, prefiero Davided la respuesta, permítanme mostrarles otra más crudo manera de hacerlo.

Fijar una base ortonormales $e_1,\ldots,e_n$. Cada elemento de la secuencia de Cauchy es entonces $$ f_j=\sum_k f_{kj}e_k, $$ para los números de $f_{kj}$. Como $\|f_j-f_i\|^2=\sum_k|f_{kj}-f_{ki}|^2$, es fácil ver que cada secuencia (de números) $\{f_{kj}\}_j$ es de Cauchy, $k=1,\ldots,n$.

Ahora usted puede tomar convergente subsecuencias uno por uno, ya que sólo tenemos $n$ secuencias, y entonces no existen números de $f_{k,0}$$f_{kj}\to f_{k,0}$. Es fácil ver entonces que $$ f_j\a\sum_kf_{k,0}e_k $$ en $H$.

Answer 5

Creo que también se puede argumentar lo siguiente:

(i) Los subconjuntos completos de espacios métricos completos están cerrados.

(ii) Todo espacio normado de dimensión finita está completo (consulte aquí para ver la prueba)

$S$ y$H$ son de dimensión finita, por lo tanto, (i) y (ii),$S$ está cerrado.