Fórmula para la ocurrencia de años bisiestos en el calendario judío

Question

Sobre el Judaísmo.SÍ, hubo una discusión acerca de una fórmula para determinar los años bisiestos en el calendario Judío. Básicamente, el calendario sigue a un joven de 19 años de ciclo, y siete de esos años -- 3, 6, 8, 11, 14, 17, y 19 -- son los años bisiestos. Alguien reducción de esta a la simple ecuación: (7y+1) mod 19 < 7.

Mi pregunta es si no hay ninguna rima o razón de por qué esto funciona, y hay un método para determinar las fórmulas -- o es todo simplemente prueba y error?

Answer 1

Aquí es "¿por qué esto funciona", y también en cómo encontrar una fórmula (de una exhaustiva búsqueda, esencialmente) cuando uno existe. Pero en realidad, la respuesta es que ninguna de esas fórmulas pueden existir en general; estamos simplemente la suerte existe para este conjunto particular de 7 valores mod 19.

La idea básica es que para cualquier entero $k$ relativamente primer a $19$, la función de $y \mapsto ky$ modulo 19 es invertible. En otras palabras, en lugar de buscar en un conjunto de números enteros $y$ modulo 19, se puede ver en el correspondiente conjunto de números enteros $ky$ mod 19, y si que establezca pasa a tener una simple caracterización de algunos $k$, que equivale a una caracterización de su original conjunto de valores.

Así que considere la posibilidad de una tabla de $ky \bmod 19$ $y$ en su lista de $[0, 3, 6, 8, 11, 14, 17]$, y enteros $k$. Sólo enteros $k$ $1$ $18$necesitan ser considerados, como $(k+19)y \equiv ky \mod 19$. No hay necesidad de considerar $k=0$ $0$ no es primo relativo a $19$: $0y \bmod 19$ es siempre $0$, por lo que no nos dice nada acerca de la $y$. Ahora lo que ocurre es que para $k=7$, los valores del modulo 19 que son obtenidas de pasar a ser consecutivos modulo 19. Por ejemplo, este código de Python:

for k in range(1,19):
    values = [(k*y)%19 for y in [0, 3, 6, 8, 11, 14, 17]]
    attained = ['*' if x in values else '.' for x in range(19)]
    print "%2d: %-30s %s" % (k, values, ''.join(attained))

imprime

 1: [0, 3, 6, 8, 11, 14, 17]       *..*..*.*..*..*..*.
 2: [0, 6, 12, 16, 3, 9, 15]       *..*..*..*..*..**..
 3: [0, 9, 18, 5, 14, 4, 13]       *...**...*...**...*
 4: [0, 12, 5, 13, 6, 18, 11]      *....**....***....*
 5: [0, 15, 11, 2, 17, 13, 9]      *.*......*.*.*.*.*.
 6: [0, 18, 17, 10, 9, 8, 7]       *......****......**
 7: [0, 2, 4, 18, 1, 3, 5]         ******............*
 8: [0, 5, 10, 7, 12, 17, 3]       *..*.*.*..*.*....*.
 9: [0, 8, 16, 15, 4, 12, 1]       **..*...*...*..**..
10: [0, 11, 3, 4, 15, 7, 18]       *..**..*...*...*..*
11: [0, 14, 9, 12, 7, 2, 16]       *.*....*.*..*.*.*..
12: [0, 17, 15, 1, 18, 16, 14]     **............*****
13: [0, 1, 2, 9, 10, 11, 12]       ***......****......
14: [0, 4, 8, 17, 2, 6, 10]        *.*.*.*.*.*......*.
15: [0, 7, 14, 6, 13, 1, 8]        **....***....**....
16: [0, 10, 1, 14, 5, 15, 6]       **...**...*...**...
17: [0, 13, 7, 3, 16, 10, 4]       *..**..*..*..*..*..
18: [0, 16, 13, 11, 8, 5, 2]       *.*..*..*..*.*..*..

Ahora mira a cada fila de la imagen de la derecha, hasta que note que para $k=7$, todos los asteriscos son consecutivos (cíclicamente) - los valores tomados son $[18, 0, 1, 2, 3, 4, 5]$. Usted puede agregar 1 para cambiar cíclicamente, los valores se $[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]$. Así el conjunto de valores de $(7y+1) \bmod 19$ $y$ en su lista original es el de arriba, que tiene una sencilla caracterización como el conjunto de los números enteros no negativos a menos de 7. Mediante esta caracterización da la fórmula $(7y + 1) \bmod 19 < 7$. (Si os fijáis en la tabla se puede ver que $k=12$ también tiene los valores consecutivos; esto no es sorprendente debido a que $12 \equiv -7 \mod 19$.)

Acaba de pasar a tener suerte. Comenzando con un conjunto diferente de 7 enteros no puede dar tal fórmula. Por ejemplo, si cambiamos "11" "12", se obtiene la imagen:

 1: [0, 3, 6, 8, 12, 14, 17]       *..*..*.*...*.*..*.
 2: [0, 6, 12, 16, 5, 9, 15]       *....**..*..*..**..
 3: [0, 9, 18, 5, 17, 4, 13]       *...**...*...*...**
 4: [0, 12, 5, 13, 10, 18, 11]     *....*....****....*
 5: [0, 15, 11, 2, 3, 13, 9]       *.**.....*.*.*.*...
 6: [0, 18, 17, 10, 15, 8, 7]      *......**.*....*.**
 7: [0, 2, 4, 18, 8, 3, 5]         *.****..*.........*
 8: [0, 5, 10, 7, 1, 17, 3]        **.*.*.*..*......*.
 9: [0, 8, 16, 15, 13, 12, 1]      **......*...**.**..

(He omitido $k=10$$k=18$) en el que los asteriscos no son consecutivos para cualquier $k$. Esto no significa que no inteligente fórmula de cualquier tipo que puede existir, pero no significa que no hay fórmula de la forma $ky + l < m$ funcionará para cualquier triple a $(k, l, m)$.

Puede ser una interesante probabilidad de ejercicio para calcular qué suerte tenemos. :-) (Dado un módulo como $19$, ¿cuál es la probabilidad de que para un conjunto de números enteros de un cierto tamaño, para algunos $k$ los múltiplos son consecutivos?)

Answer 2

Hay una manera de motivar a las fórmulas, pero no de deshacerse por completo de la prueba y el error. Para la siguiente estoy en deuda con "Calendáricos de Cálculo" por Dershowitz y Reingold.

Resulta que el año bisiesto estructura de varios otros calendarios, entre ellos, la Islámica, también puede ser caracterizado por las condiciones de la forma $(by + c) \bmod l < b$. Resulta que esto puede explicarse si se supone que ellos han adoptado un método común para la distribución de los años bisiestos tan uniformemente como sea posible.

Supongamos que queremos tener $l$ salto-años entre los años $1,2,\ldots n$. (Donde $n \geq l$.) Una forma de lograr esto es para decir que el año $y$ es un año bisiesto si y sólo si existe un entero $k$ tal que $y-1 < k \frac{n}{l} \leq y$. Podemos imaginar que delimitan la múltiplos de $\frac{n}{l}$ en el número de línea y, a continuación, nuestra condición significa que $y$ es el primer entero después de que uno de estos múltiplos.

Podemos reescribir la condición en la que nos imponen como $k\frac{n}{l} \leq y < k\frac{n}{l}+1$, lo que a su vez es equivalente a $$ kn \leq yl < kn +l.$$ Esto es cierto para algunos entero $k$ si y sólo si $ (yl \bmod n) < l$.

Ahora usted podría objetar que esto no da la respuesta correcta y usted, por supuesto, de ser correcta. Sin embargo, esto puede ser remediado. No hay nada que nos obliga a comenzar el ciclo en el año $1$ del calendario. Si por el contrario nos inicio del ciclo en el año $a$ nuestra fórmula se convierte en $$ ((y-a+1)l \bmod n) < l.$$

Establecimiento $l= 7, $n=19 y $a=9$ reproducimos la fórmula adecuada después de la simplificación. (El ensayo y error parte, es ahora realmente sólo en la búsqueda de $a$.)