La compactación de Deligne-Mumford se ha convertido en un problema.

Question

Estoy tratando de entender un argumento en 'An Introduction to Compactness Results in Symplectic Field Theory' de Casim Abbas. Aquí es donde me atasqué: (Es en el capítulo 3.3.2, Agregando puntos marcados adicionales en el libro, si usted tiene acceso a ella).

Supongamos que tenemos una superficie de Riemann marcada $(S,M)$ , donde $S$ es la superficie de Riemann y $M\subseteq S$ es el conjunto de puntos marcados. (Para simplificar, supongamos que no hay puntos nodales en $S$ .)

Entonces nos interesa el límite de la sucesión de la superficie de Riemann marcada $S_n:=(S,M\cup \left\{y_n^{(0)},y_n^{(1)}\right\})$ donde los puntos marcados añadidos están dados para que $d_n(y^{(0)}_n,y^{(1)}_n)$ llega a cero a medida que $n$ llega al infinito. Suponemos además que existe una carta holomorfa de radio $R_n\to \infty$ que mapea $y_n^{(i)}$ a $i\in \mathbb{C}$ .

El argumento del libro es el siguiente:

En primer lugar, a medida que los dos puntos marcados se acercan más y más, podemos restringirnos en un par de pantalones. (De hecho, tenemos que considerar el caso de que los dos puntos marcados se encuentren en dos pares de pantalones adyacentes, pero vamos a concentrarnos en esto para simplificar).

Así que el par de pantalones de nuestra preocupación se parece a los primeros pantalones como arriba.

Ahora considera una descomposición de pantalones de $S_n$ . Lo siguiente es lo que se declaró:

Debido a que la superficie $S_n$ contienen anillos $\cong D_{R_n}\setminus D_2$ con módulos cada vez más grandes y $y_n^{(i)}\in D_2$ , el último par de la descomposición de los pantalones no puede ocurrir por el teorema de Bers. De hecho, debemos tener la longitud de $\gamma_n$ para ir a $0$ .

Q. ¿Podría explicar un poco más esta parte? Supongo que, como tenemos que utilizar el teorema de Bers, está implícito que el círculo punteado inferior en el último par de pantalones de la figura se alarga cada vez más a medida que $n$ va hasta el infinito. ¿Es correcto? ¿Por qué? Y no tengo ni idea de cómo ver la siguiente afirmación de que la longitud de $\gamma_n$ se pone a 0.

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Edición: El siguiente es el teorema de Bers, parafraseado en mi propia preferencia.

(Teorema de Bers) Dado un tipo topológico (es decir, el género, el número de puntos marcados y el número de componentes del límite) de una superficie de Riemann $S$ fija, existe un límite uniforme en la longitud de cada componente de frontera de cada par de pantalones en una descomposición de pares de pantalones de $S$ que sólo depende del tipo topológico de $S$ y la longitud de las componentes de frontera de $S$ .

Answer 1

Dejemos que $M_n$ sea el módulo del anillo $D_{R_n} - D_2$ . $M_n \to \infty$ como $n \to \infty$ ya que $R_n \to \infty$ por suposición. Esto significa que la longitud de su curva central, digamos $c_n$ se reduce a $0$ . $c_n$ se cruza con la curva $\gamma_n$ en la última configuración, por lo que por el lema del collar (véase, por ejemplo, el libro "Geometry and Spectra for Compact Riemann surfaces", de Peter Buser, para una exposición completa en el caso de las superficies de Riemann perforadas), la longitud de $\gamma_n$ debe ser mayor que $2M_n$ . Pero esto daría una descomposición de pantalones con una curva límite de longitud no limitada, lo que contradice el teorema de Bers. Esto significa que sólo son válidas las tres primeras configuraciones, y en ellas $\gamma_n$ desempeña el papel de $c_n$ que luego debe reducirse a $0$ .