La intersección del cierre del tramo de subconjuntos infinitos, linealmente independientes, cerrados, limitados, conectados y separados de$\ell^2$

Question

Deje que$X$ y$Y$ sean dos subconjuntos de$\ell^2$ espacio sobre$\mathbb{C}$ de tal manera que cada uno de ellos sea: infinito, linealmente independiente, cerrado, acotado, conectado y$X \cap Y = \emptyset$

Me gustaría saber si es cierto que $$ \ overline {\ operatorname {span} X} \ cap \ overline {\ operatorname {span} Y} = \ {0 \} $$

Gracias.

Answer 1

Suponga que existe un infinito, conectado, cerrado, acotado y linealmente independientes set$X$$\alpha\in\mathbb C\setminus\{0,1\}$, entonces usted puede definir $Y=\{\alpha x~:~x\in X\}$. A continuación, $Y$ también es infinito, conectado, cerrado, acotado y linealmente independientes y $X\cap Y=\emptyset$ pero $\overline{\operatorname{span}X}=\overline{\operatorname{span}Y}$.

Así que este argumento trabajo para$\ell^2$$\mathbb C$$\mathbb R$.

Pero supongo que no puede existir un conjunto. No estoy seguro, pero de alguna manera creo que conectados linealmente independientes conjunto no puede contener más de un elemento. Pero no tengo ninguna prueba todavía.