Probar que$f_n(x) = 1 - \cos(\frac{x}{n})$ es uniformemente convergente

Question

Demuestre que$f_n(x) = 1 - \cos(\frac{x}{n})$ es uniformemente convergente en$[0,2\pi]$.

Así que dije esto, y mi profesor dijo que está mal:

$|1-\cos(\frac{x}{n})| \leq 2, $ luego tomamos un$\epsilon >2 $, y tenemos para cada$n \in \mathbb{N}$ y$\forall x \in [0,2\pi]$ ese$|1-\cos(\frac{x}{n})| < \epsilon$ y es uniformemente convergente.

¿Qué hay de malo en lo que hice?

Answer 1

Como dije en mi comentario, tu prueba no cubre el $\epsilon \in (0,2)$ de los casos, usted necesita demostrar para todos los $\epsilon$, lo que significa también para estos.

Sugerencia Para $n >4$ usted puede probar que

$$0< 1 - \cos(\frac{x}{n}) \leq 1 - \cos(\frac{2 \pi}{n}) \forall x \in [0,2 \pi] \,.$$

$n>4$ es necesario para asegurarse de que están en el primer cuadrante. Esto se sigue inmediatamente de la monotonía de $\cos(x)$ en el primer cuadrante.

[$n>2$ realidad iba a ser suficiente, pero a quién le importa :) ].

Ahora, usa la definición de $\lim_n \cos(\frac{2 \pi}{n})=1$ y el hecho de que no se $x$ en este límite.

---

Editar Alternativamente, por el doble del ángulo de fórmulas y $\sin(y) <y$:

$$0 \leq 1 - \cos(\frac{x}{n}) = 2 \sin^2(\frac{x}{2n}) \leq 2 (\frac{x}{2n})^2 \leq 2 (\frac{2 \pi}{2n})^2$$

Answer 2

La Proposición: Vamos A $f_n(x) = 1 - \cos(\frac{x}{n})$. A continuación, $f_n(x) \to 0$ uniformemente en $x$ en el intervalo de $[0, 2 \pi]$$n \to \infty$.

Prueba: Escoja cualquier real $\epsilon > 0$. Entonces existe un real $\delta > 0$ tal que $|1 - \cos y| < \epsilon$ si $|y| < \delta$; esta afirmación se sigue inmediatamente de la continuidad de $\cos y$ y el hecho de que $\cos 0 = 1$. Ahora elija $N > \frac{2 \pi}{\delta}$ e integer $n > N$. A continuación, para$x \in [0, 2 \pi]$,$\frac{x}{n} < \frac{x}{N} \le \frac{2 \pi}{N} < \delta$, de donde $f_n(x) < \epsilon$. Nota: esto es válido para cualquier $\epsilon$ $N$ todos los $ x \in [0, 2 \pi]$. Así es el uniforme de la convergencia de $f_n(x)$$0$. establecido. QED.