¿Cuál es el resto de la división$\frac{2^{82}}{7}$?

Question

He intentado esto de la siguiente manera

paso 1:- (2)^2*41 /7

paso 2:- (2)^2*41 / 2^2 + 3

paso 3:- supongamos x = 2^2

paso 4:- a continuación, x^41 / x+3

paso 5:- Utilizando el teorema del Resto, x = -3

F(-3) = (-3)41

Paso 6:- Como los últimos dígitos de 3 repeticiones por cada cuatro de alimentación el último dígito de la 3^41 = último dígito de la 3^1

so, (-3)^1 = -3

paso 7:- Divisor se suma para obtener un número positivo

   -3+7 = 4 

La respuesta que he calculado es de 4, pero la respuesta correcta era 2. Podría cualquiera me ayudan?? Estoy tratando de resolver esto a través del teorema del resto.

Answer 1

Estás buscando encontrar$$2^{82}\mod 7$ $

Dado que$7$ es primo y$7\not\mid 2$, podemos usar el pequeño teorema de Fermat que nos dice que$$2^6\equiv 1 \mod 7$ $

(esto en realidad no es tan difícil de ver,$64-1=63=7\times 9$)

Pero $82=13\times 6+4$. Entonces obtenemos esto es$$2^4\mod 7=2$ $

Answer 2

$2^3\equiv 1 (\mbox{mod } 7) $. Así que tienes $2^{82}=2\cdot(2^3)^{27}\equiv 2\cdot 1^{27}\equiv 2 (\mbox{mod } 7)$. Entonces la respuesta es$2$.

Answer 3

Supongo que lo que usted llama el teorema del resto , dice lo siguiente:

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Teorema. Deje $f(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros, y deje $a$ ser un número entero. Cuando estamos llevando a cabo la división polinómica $$ \frac{f(x)}{x} $$ la constante resto término es igual a $f(a)$. En otras palabras, existe un polinomio $g(x)$ con coeficientes enteros tales que $$ f(x)=g(x)(x-a)+f(a). $$

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En vista de esto yo haría lo siguiente. Deje $x=8$, lo $7=x-1$. Entonces $$ 2^{82}=2^{3\cdot27+1}=2\cdot(2^3)^{27}=2x^{27}. $$ El resto teorema nos dice que el resto de la división $\dfrac{2x^{27}}{x-1}$ (evaluar en $x=1$) es así $2\cdot1^{27}=2$.

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Estoy de acuerdo con otros, que esto es más fácil con un Poco de Fermat y la de sus primos, pero parece que no hemos cubierto los que todavía?