Demuestre que el grupo diedro$D_4$ no puede escribirse como un producto directo de dos grupos

Question

Me gustaría saber por qué el grupo diedro $D_4$ no puede ser escrito como un producto directo de dos grupos. Es una tarea escolar que he estado tratando de resolver todo el día y ahora estoy más confundido que nunca, incluso pensando que el maestro podría haber perdido la escritura que él significa normal subgrupos.

En otro hilo se dijo (como la respuesta a esta pregunta) que el producto directo de dos abelian grupos es de nuevo abelian. Si tenemos en cuenta el producto directo de abelian subgrupos $H$,$K\in G$ donde $HK=G$ (para todos los $g \in G$, $g=hk$ $h \in H$, $k \in K$.) No puedo entender por qué esto implicaría $g=kh$? No se indica en ninguna parte que $H$,$K$ tiene que ser normal! Pero si esta deducción es correcta entiendo porqué $D_4$ (que no es abelian) no puede ser escrito como un producto directo de dos grupos. Pero si no, como sospecho, necesito un poco de ayuda!

Sabemos que todos los grupos de orden 4 y 2 son abelian, (desde $4=p^2$), pero sólo 4 de los subgrupos de $D_4$ son normales:

Para ello me puede mostrar fácilmente que $D_4$ no puede ser un producto directo de la normalsubgrupos: La única normal subgrupos de $D_4$ es de los tres subgrupos de orden 4, (índice 2 el teorema de): $\{e,a^2,b,a^2b\}$, $\langle a\rangle$, $\{e,a^2,ab,a^3b\}$ y el centro de $D_4=\{e,a^2\}$ podemos ver que estos no son disjuntas. Por lo $D_4$ no puede ser un producto directo de la normal de subgrupos. La razón de ello es que el centro no es trivial. Pero ¿por qué no $D_4$ ser un producto directo de cualquiera de los dos grupos?

Si escribimos los elementos de $D_4$ así como en los generados por $a$ y $b$, $a^4=e$, $b^2=e$, $ba=a^3b$ ¿por qué no $D_4=\langle b\rangle\langle a\rangle$ ? He calculado los productos de los elementos de estos dos grupos de acuerdo a la regla dada anteriormente y terminó con $D_4$, y también $\langle a\rangle$, $\langle b\rangle$ es distinto...? ¿Por qué esta mal? Muy agradecido por la respuesta!

Answer 1

Para $G$ a ser el directo de productos de $H$$K$, por definición, se debe cumplir con las siguientes condiciones:

1. $H$ $K$ son normales subgrupos de $G$;
2. $G=HK$; y
3. $H\cap K=\{e\}$.

Tenga en cuenta que no todas las tres condiciones en su primer párrafo explícitamente. La normalidad de las $H$ $K$ es implícita cuando usted dice que es un directo del producto. Esto es lo que le falta: la definición de "producto directo" requiere la normalidad de los dos subgrupos.

En general, si $H$ $K$ son normales y $H\cap K=\{e\}$, $hk=kh$ todos los $h\in H$$k\in K$: de hecho, considerar el elemento $hkh^{-1}k^{-1}$. Escribiendo como $(hkh^{-1})k$, es un producto de dos elementos de la $K$ (por la normalidad de $K$), por lo que se encuentra en $K$. Pero escribir como $h(kh^{-1}k)$, entonces, por la normalidad de $H$, es un producto de dos elementos de la $H$, por lo que se encuentra en $H$. Por lo tanto, $hkh^{-1}k^{-1}$ se encuentra en $H\cap K=\{e\}$. Por lo $hkh^{-1}k^{-1}=e$. Multiplicando por $kh$ a la derecha, llegamos $hk=kh$.

En particular, si $H$ $K$ son abelian, a continuación, $G$ es abelian: dado $hk$ $h'k'$ $G$ (utilizando el hecho de que $G=HK$), luego $$(hk)(h'k') = h(kh')k' = h(h'k)k' = (hh')(kk') = (h'h)(k'k) = h'(hk')k = h'(k'h)k = (h'k')(hk)$$ por lo $G$ es abelian.

Estás en lo correcto, sin embargo, que si $G$ es un producto (no es un producto directo, pero sólo un producto) de dos abelian subgrupos $H$ $K$ (que sólo requiere que $HK=G$), entonces no se puede concluir que $G$ sí es abelian. Por ejemplo, considere la nonabelian grupo de orden $27$ y el exponente $3$, presentado por $$\Bigl\langle a,b,c \;\Bigm|\; a^3=b^3=c^3=e,\ ba=abc,\ ac=ca,\ ab=ba\Bigr\rangle.$$ Deje $H= \langle a,c\rangle$$K=\langle b\rangle$. A continuación, $H$ $K$ son cada abelian, y $G=HK$, pero $G$ no es abelian.

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Así que, si usted se está preguntando si $D_4$ puede ser escrito como una directa producto de dos adecuada subgrupos, usted acepta que no, porque el "producto directo" requiere, necesariamente, $H$ $K$ normal $G$, y que necesariamente se $G$ abelian, que no lo es.

Ahora, otra cuestión es: ¿se puede escribir $G$ como un producto, no necesariamente directa, de dos subgrupos? Esto sólo requiere de $G=HK$, e incluso no requieren $H\cap K=\{e\}$.

En este caso, la respuesta es "sí": usted puede. Incluso puedes hacerlo con $H\cap K=\{e\}$. Por ejemplo, la escritura $$D_4 = \Bigl\langle r,s\;\Bigm|\; r^4 = s^2 = e,\ sr=r^3s\Bigr\rangle$$ entonces podemos tomar $H=\langle e, r, r^2, r^3\rangle$, e $K=\{e,s\}$. A continuación, $HK$ tiene: $$|HK| = \frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|} = \frac{4\times 2}{1} = 8$$ elementos, por lo tanto $HK=D_4$.

De hecho, $D_4$ es un semidirect producto de $C_4$$C_2$, que es lo que expongo más arriba; en fin para $G$ a ser un (interno) semidirect producto de $H$$K$, se requieren $H$ $K$ a subgrupos tales que:

1. $H\triangleleft G$;
2. $G=HK$; y
3. $H\cap K=\{e\}$.

En particular, cada expresión de $G$ como un producto directo de dos grupos es también una expresión como un semidirect producto, pero no a la inversa; y cada semidirect producto es también una expresión como un producto, pero no a la inversa.