Primero de todo, soy consciente de que la pregunta de Cómo incrustar Botella Klein en $R^4$ , que no fue concluyente. De todos modos, he hecho algunos progresos, pero todavía tengo una pregunta.
Estoy usando Do Carmo de la Geometría de Riemann, y luchando para resolver un problema.
El problema es:
Muestran que la asignación de $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4$ dada por
$$G(x,y)=((r\cos (4\pi y)+a)\cos (4\pi x),(r\cos (4\pi y)+a)\sin (4\pi x),r\sin (4\pi y)\cos (2\pi x),r\sin (4\pi y)\sin (2\pi x)))$$
induce una incrustación de la botella de Klein en $\mathbb{R}^4$ (es un poco diferente de la función de la que en el libro, pero funciona de la misma manera).
Primero de todo, no es difícil ver que $$G(x+n,y+m)=G(x,y)\text{ whenever }m,n\in\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto, esta asignación es bien define en el torus $\mathbb{T}^2$. Lo que necesito ahora es mostrar que $G(-x,-y)=G(A(x,y))=G(x,y)$ donde $A$ es la antípoda de la cartografía. Si esto fuera cierto, entonces la asignación de G sería bien definidas sobre la Botella de Klein, pero es obvio que esto es falso.
Estoy trabajando mal aquí en algún lugar?
Considerar la incrustación $\psi:\Bbb R\times\Bbb R\big/{\Bbb Z\times\Bbb Z}\hookrightarrow\Bbb R^3$
$$\psi([\theta,\tau])=
\begin{pmatrix}
\cos(2\pi\theta) &-\sin(2\pi\theta) & 0\\
\sin(2\pi\theta) &-\sin(2\pi\theta) & 0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2+\cos(2\pi\tau)\\
\sin(2\pi\tau)\\
0
\end{pmatrix}$$
A continuación, se verifica
(en la imagen y, a continuación, haciendo las matemáticas) que $-\psi([\theta,\tau])=\psi([\theta+\frac12,-\tau])$
