Supongamos dada una secuencia $(W_n)$ de Gauss procesos indexados por, digamos, $\mathbb{R}^p$, con una media cero y covarianza de la función $R_n$. Esto significa que para cada una de las $n$, de lo finito-dimensional de las distribuciones de $W_n$ son multivariante Gaussiano con media cero, y para cada $x,y\in\mathbb{R}^p$, $\textrm{Cov}(W_n(x),W_n(y))=R_n(x,y)$.
A priori, cada una de las $W_n$ toma sus valores sólo en el espacio de funciones de$\mathbb{R}^p$$\mathbb{R}$. Para asegurar la suficiente regularidad, para asumir la certeza de que cada una de las $W_n$, de hecho, toma sus valores en algún espacio de Banach $B$. Por ejemplo, esto podría ser el espacio de la delimitadas las funciones, o el espacio de funciones continuas.
Mi pregunta es esta: ¿cuáles son criterios suficientes para la debilidad de la convergencia de la secuencia de $(W_n)$?
Un par de comentarios: Como proyecciones en un número finito de coordenadas generalmente son continuos, es evidente que la debilidad de la convergencia de $W_n$ implica la convergencia de finito-dimensional de las distribuciones. Esto también significa que el candidato límite de distribución está determinada únicamente por los límites de lo finito-dimensional de las distribuciones de $W_n$. Por lo tanto, el candidato débil límite de $W$ tendrá que ser un proceso Gaussiano así, toma sus valores en el mismo espacio de Banach $B$$(W_n)$. Lo que se requiere para la debilidad de la convergencia de $W_n$ es cierta noción de la opresión, que idealmente debe ser expresada en la relación entre la covarianza de las funciones de $R_n$ y su límite.
Uno podría preguntarse por qué la debilidad de la convergencia en lugar de la mera convergencia de finito-dimensional de las distribuciones es muy interesante: Mi principal interés es garantizar la convergencia de funcionales, tales como el supremum así, y para obtener esto, la convergencia de finito-dimensional de las distribuciones en general no es suficiente.
