Encuentra$f\in L^1(\mathbb{R})$ tal que$\|\int_{-N}^N \hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi \cdot}\operatorname{d}\xi-f\|_1\nrightarrow 0, N\to\infty?$

Question

Me pregunto cómo encontrar una función $f\in L^1(\mathbb{R})$ tales que, si $\hat{f}$ es su transformada de Fourier, es decir: $$\forall \xi\in\mathbb{R},\hat f (\xi):=\int_\mathbb{R} f(t)e^{-2\pi i\xi t}\operatorname{d}t$$ entonces $$\left\|\int_{-N}^N \hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi \cdot}\operatorname{d}\xi-f\right\|_1=\int_{\mathbb{R}}\left|\int_{-N}^N \hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}\operatorname{d}\xi-f(x)\right|\operatorname{d}x\nrightarrow 0, N\to\infty$$ Sé que tal función debe existir ya en el libro de Análisis de Fourier por Javier Duoandikoetxea en la página 59 se afirma sin pruebas que para $f\in L^1(\mathbb{R})$, en general, no podemos esperar que $\int_{-N}^N \hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi \cdot}\operatorname{d}\xi$ converge en $L^1$ norma $f$ , pero que de todos modos lo que converge a $f$ en la medida.

¿Alguien puede proporcionar cualquier referencia o simplemente una prueba que garantiza la existencia de una función de este tipo?

Answer 1

Deje $f(t)=\begin{cases}1&-\frac12\le t\le \frac12\\0&\text{otherwise}\end{cases}$.

Entonces $$\hat{f}(s) = \int_{-\frac12}^{\frac12} e^{-2\pi ist}\,dt = \frac1{-2\pi is}\left(e^{-\pi is}-e^{\pi is}\right)=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}$$ Integrar eso en contra de $e^{2\pi isx}$ a $[-N,N]$ y obtenemos \begin{align*}g_N(x) &= \int_{-N}^N \frac{\sin(\pi s)}{\pi s}e^{2\pi isx}\,ds = 2\int_{0}^N \frac{\sin(\pi s)}{\pi s}\cos(2\pi sx)\,ds\\ g_N'(x) &= -2\int_{0}^N 2\sin(\pi s)\sin(2\pi sx)\,ds = 2\int_0^N \cos(\pi s(1+2x))-\cos(\pi s(1-2x))\,ds\\ g_N'(x) &= \frac{2\sin(\pi N(2x+1))}{\pi(2x+1)} - \frac{2\sin(\pi N(2x-1))}{\pi(2x-1)}\end{align*} Para algunos $N$, que es bastante pequeña. Los dos $\sin$ términos son iguales para un entero $N$, lo que nos deja con algo que es $O(x^{-2})$ como $x\to\infty$. Para otros $N$, que se hace más grande. Si $N-\frac12$ es un número entero, entonces $\sin(2\pi Nx+\pi N)=-\sin(2\pi Nx-\pi N)$y $$g_N'(x) = \frac{8x\sin(2\pi Nx+\pi N)}{(4x^2-1)\pi} = \frac{\pm 8x\cos(2\pi Nx)}{(4x^2-1)\pi}$$ Para grandes $x$ y la mitad de entero $N$, a continuación, $g_N$ cambios por $$\int_{(k-\frac12)/N}^{(k+\frac12)/N}g_N'(x)\,dx\approx \int_{(k-\frac12)/N}^{(k+\frac12)/N}\frac{\pm 8k/N\cos(2\pi Nx)}{4k^2\pi/N^2}\,dx = \frac{\pm 2}{k\pi^2}\approx\frac{\pm 2}{\pi^2 Nx}$$ entre los extremos, como $x$ cambios $\frac1N$. Eso es demasiada variación para un $L^1$ función; $|g_N(x)|$ será al menos de $\frac cx$ para algunos fijos $c>0$ la mayoría del tiempo, y por lo tanto no será en $L^1$.

Así que, incluso en este simple ejemplo, no conseguimos $L^1$ convergencia: una secuencia de funciones que no están en $L^1$ a todos los que no es posible que convergen para nada en $L^1$. Este fue el primer ejemplo que he intentado - elija sólo $f$ lo suficientemente lejos de la suavidad que $\hat{f}$ no $L^1$, y el error es prácticamente inevitable.