encontrar

Question

Buscando $$\int^{\pi/2}_0 \frac{\sin^{n-2}(x)}{(1+\cos x)^n}dx$ $

lo que trato

$$ \begin{split} I &= \int^{\pi/2}_0 \left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)^n\csc^2(x)dx \\ &= \int^{\pi/2}_0 \tan^n(x/2)\csc^2(x)dx \end {dividir} $$

Pero no sé cómo seguir adelante. ¿Podrias ayudarme por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta que el $\csc^2(x)$ plazo puede ser expresada en términos de $\tan\left(\frac x2\right)$ aswell. Para ser exactos, tenemos que

\begin{align*} \csc^2(x)=\left(\frac1{\sin(x)}\right)^2=\left(\frac1{2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)}\right)^2=\left(\frac{\frac1{\cos^2\left(\frac x2\right)}}{2\frac{\sin\left(\frac x2\right)}{\cos\left(\frac x2\right)}}\right)^2 =\left(\frac{1+\tan^2\left(\frac x2\right)}{2\tan\left(\frac x2\right)}\right)^2 \end{align*}

El uso de este y además de darse cuenta de que $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan\left(\frac x2\right)=\frac12\left(1+\tan^2\left(\frac x2\right)\right)$ podemos aplicar el substition $\tan\left(\frac x2\right)=u$ obtener

\begin{align*} I_n=\int_0^{\pi/2}\tan^n\left(\frac x2\right)\csc^2(x)\mathrm dx&=\int_0^{\pi/2}\tan^n\left(\frac x2\right)\left(\frac{1+\tan^2\left(\frac x2\right)}{2\tan\left(\frac x2\right)}\right)^2\mathrm dx\\ &=\frac12\int_0^{\pi/2}\tan^{n-2}\left(\frac x2\right)\left(1+\tan^2\left(\frac x2\right)\right)\left[\frac12\left(1+\tan^2\left(\frac x2\right)\right)\mathrm dx\right]\\ &=\frac12\int_0^1 u^{n-2}(1+u^2)\mathrm du\\ &=\frac12\left[\frac{u^{n-1}}{n-1}+\frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\\ &=\frac12\left[\frac1{n-1}+\frac1{n+1}\right] \end{align*}

$$\therefore~I_n~=~\int_0^{\pi/2}\tan^n\left(\frac x2\right)\csc^2(x)\mathrm dx~=~\frac n{n^2-1}$$

Answer 2

Un enfoque ligeramente diferente, la misma respuesta.

Deje $u=\tan(x/2)$ , luego $$ \begin{align} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin^{n-2}(x)}{(1+\cos(x))^n}\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/2}\tan^n(x/2)\csc^2(x)\,\mathrm{d}x\\ &=-\int_0^{\pi/2}\tan^n(x/2)\,\mathrm{d}\cot(x)\\ &=-\int_0^1u^n\,\mathrm{d}\frac{1-u^2}{2u}\\ &=\frac12\int_0^1\left(u^{n-2}+u^n\right)\mathrm{d}u\\[3pt] &=\frac12\left(\frac1{n-1}+\frac1{n+1}\right)\\[6pt] &=\frac{n}{n^2-1} \end {align} $$