Caracterización no constructiva de la integral definida.

Question

Es una colección de propiedades que caracteriza a la noción de una clara integral de funciones con valores? El determinante puede ser definida de forma única el uso de una definición explícita (a través de cofactor de la expansión o la fórmula de Leibniz) o por dar un par de propiedades que en conjunto de precisar.‡ Me pregunto si es posible hacer el último, de una noción de integral definida.

Estoy tratando de llegar a una noción de integral donde la definición de la integral integral y la integral de Lebesgue (con la orientación, como se describe a continuación) ambos califican como de la integral definida operadores.

También quiero que permite a los "conservadores" o "tímido" integrales definidas que sólo se aplican a los polinomios a trozos, sólo se aplican a funciones seccionalmente constante, &c.

Por la integral definida, me refiero a una forma de asignar valores a las expresiones de la formulario (101):

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \tag{101} $$

También estoy considerando la integral definida como un cuatro-lugar de relación (102) que es un la función parcial de sus tres primeros argumentos. Para cada triplete en $(\mathbb{R} \to \mathbb{R}) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, o bien no es exactamente un resultado o no hay resultados.

$$ S \in \left(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\right) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \tag{102} $$

$$ S(f, a, b, w) \stackrel{\text{def}}{\iff} \int_{a}^{b} f(x) dx = w \tag{103} $$

Podemos engañar a la integral de Lebesgue en la evaluación de las expresiones de este formulario negando el resultado al $a > b$ . Sospecho que la integral de Lebesgue con la orientación, tal como se describe en el enlace, es la más general posible definitivo integral.

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Aquí está mi intento de llegar a algunas de las propiedades que queremos que la demanda de un de la integral definida.

No estoy preguntando si esta particular colección de propiedades de captura lo que intuitivamente se desea para una noción de lo que es una integral definida. Estoy intentando como de buena fe "primer intento", que ilustra de qué tipo de colección de propiedades que estoy tratando de encontrar y demostrar que he pensado acerca de la cuestión.

1) linealidad (producto escalar)

$$ \int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx $$ $$ S(f, a, b, w) \iff S(kf, a, b, kw) $$

2) linealidad (adición)

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) + g(x) dx $$ $$ S(f, a, b, u) \land S(g, a, b, v) \iff S(f + g, a, b, u + v) $$

3) aditividad de la integración en intervalos de

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx $$ $$ S(f, a, b, u) \land S(f, b, c, v) \iff S(f, a, c, u + v) $$

4) Firmado el área de los rectángulos con la altura de la unidad.

$$ \int_{a}^{b} 1 dx = b - a $$ $$ S(1, a, b, b - a) $$

5) cerca de funciones similares de integrales definidas.

deje $\lVert f \rVert_{[a, b]}$ se define como $\sup \left\{ \left|f(x)\right| \;\text{for}\; x \;\text{in}\; [a, b] \right\}$. $\lVert f \rVert_{[a, b]} \in \mathbb{R_{\ge 0}} \cup \{\infty\}$

Esta propiedad se formaliza la idea de que si dos funciones difieren en menos de $\varepsilon$ en su más amplia, entonces la diferencia en las integrales difieren en menos de $\varepsilon$ multiplicado por la longitud del intervalo.

deje $D_{[a, b]}(f, g)$ denotar la distancia entre dos funciones sólo teniendo en cuenta el intervalo de $[a,b]$. $D(f, g)$ se define como $\lVert f - g \rVert_{[a,b]}$ .

Para todos los intervalos de $[a,b]$ donde $a \le b$, forall funciones reales, $f$,

$$ \forall \varepsilon > 0 . \forall g \in \mathbb{R} \to \mathbb{R} . D_{[a, b]}(f, g) < \varepsilon \implica \left| \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) dx \right| < \varepsilon (b - a) $$

siempre que las integrales definidas

6) la continuidad en el primer argumento.

Para todos los intervalos de $[a,b]$ donde $a \le b$, forall funciones reales, $f$,

$$ \forall \varepsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall g . D_{[a,b]}(f, g) < \delta \implies \left| \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) dx \right| < \varepsilon $$

siempre que las integrales definidas

‡ El determinante es determinada únicamente por el hecho de que a) es multilineal en las columnas de su argumento, b) es la alternancia en las columnas de su argumento, y c) envía la identidad de las matrices a 1.

Answer 1

La forma habitual en este tipo de preguntas se trata es la representación de Riesz teorema. Existen diferentes estrechamente relacionadas con las formulaciones de este teorema (usted puede encontrar algunos de los otros en el enlace de arriba), pero aquí está uno para la integración en intervalos en $\mathbb{R}$. Deje $C([a,b])$ denota el espacio vectorial de las funciones continuas $[a,b]\to\mathbb{R}$.

Teorema: Vamos a $I:C([a,b])\to\mathbb{R}$ ser lineal en el mapa tal que $I(f)\geq 0$ cualquier $f\in C([a,b])$ tal que $f(x)\geq 0$ para todos los $x\in[a,b]$. Luego hay un único, finito medida de Borel $\mu$ a $[a,b]$ tales que $$I(f)=\int_{[a,b]} f\,d\mu$$ for all $f\en C([a,b])$.

Corolario: Vamos a $I:C([a,b])\to\mathbb{R}$ ser como el anterior, y asume, además, que $I(1)=b-a$ e $I(f)\geq M(d-c)$ cualquier $f\in C([a,b])$, $M\in\mathbb{R}$, e $[c,d]\subseteq[a,b]$ tal que $f(x)\geq 0$ para todos los $x\in [a,b]$ e $f(x)\geq M$ para todos los $x\in [c,d]$. A continuación, $I(f)=\int_{[a,b]} f\,d\lambda$ para todos los $f\in C([a,b])$, donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue.

Como un croquis de cómo probar el corolario del teorema, vamos a $\mu$ ser como en el teorema y se nota que las hipótesis del corolario implica $\mu([a,b])=b-a$ e $\mu([c,d])\geq d-c$ para todos los $[c,d]\subseteq [a,b]$. Si tuviéramos $\mu([c,d])>d-c$ podríamos concluir que $\mu([a,b])>b-a$ rompiendo $[a,b]$ en subintervalos, uno de los cuales es $[c,d]$, por lo que debemos tener $\mu([c,d])=d-c$ siempre. Esto implica entonces $\mu$ es la medida de Lebesgue.