$\Lambda = \varprojlim\Lambda_n$ (anillo de funciones simétricas)

Question

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A la hora de comprender cómo se define el anillo de simétrica funciones, no puedo ver por qué es tan importante tomar el límite inversa en la categoría de clasificados de los anillos.

MI TRABAJO

Considere la posibilidad de $\Lambda$ a ser el anillo de simétrica funciones.

$\Lambda_n$ a ser el simétrico de los polinomios en la $n$ variables independientes.

Por otra parte, sé que en la categoría de anillos, los objetos son los anillos y las flechas anillo de homomorphisms.

También sé que en la categoría de clasificados de los anillos, los objetos son los anillos y las flechas son clasificados anillos homomorphisms. I. e. si $f:R\to S$ es un anillo homomorphisms. Graduado anillo homomorphisms es $f$ tal que $f(R)\subseteq S$.

A continuación, en la categoría de clasificados de los anillos,

$$\Lambda = \varprojlim\Lambda_n = \left\{a \in \prod_{i\in I}\Lambda_i \mathrel{\Bigg|} \forall i \leq j: f_{i,j}(a_j)=a_i \right\}$$

En la categoría de anillos,

$$\Lambda ^* = \varprojlim\Lambda_n = \left\{a \in \prod_{i\in I}\Lambda_i \mathrel{\Bigg|} \forall i \leq j: f_{i,j}(a_j)=a_i \right\}$$

Y $\Lambda \subset \Lambda^*$ (mi profesor me dijo).

Pero no puedo ver lo que hace la diferencia en la consideración del límite inversa en estas dos categorías diferentes. No puedo ver cómo afecta a las flechas en las categorías de estos conjuntos.

Alguna ayuda?

Answer 1

Tomando un límite inversa en la categoría de clasificados anillos corresponde a tomar el límite inversa en cada uno de los grados y tomando la suma directa.

Así que si $\Lambda_n^k$ es el grupo de grado $k$ simétrica polinomios en $n$ variables, a continuación, nos vamos a

$$ \Lambda^k = \lim_{\gets} \Lambda_n^k \quad \text{and} \quad \Lambda = \bigoplus_k \Lambda^k.$$

Y el efecto de esto es que todavía tenemos una suma directa al final del día. I. e. elementos de $\Lambda$ consisten simétrica con funciones delimitadas superior-grado.

Por otro lado, considerar la secuencia

\begin{align} &1 + x_1, \\ &1+(x_1+x_2)+x_1x_2, \\ &1 + (x_1 + x_2 + x_3) + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + (x_1x_2x_3), \\ &\dots \end{align}

En $\Lambda^*$ este es un elemento, que puede ver porque si establece $x_n = 0$ en la $n$-ésimo término de la secuencia, se obtiene el término anterior.

Esta secuencia converge a

$$ 1 + \sum_i x_i + \sum_{i < j} x_ix_j + \sum_{i < j < k} x_ix_jx_k + \cdots $$

pero este no es un elemento de $\Lambda$.

Answer 2

No hay que olvidar que fundamentalmente límites son definidos mediante la categoría de la teoría. Las expresiones dadas para darse cuenta de que ellos pueden ser más fáciles de entender para los mortales que piensa en términos de elementos, pero sólo pueden ser utilizados si se puede demostrar para satisfacer la categoría de especificación.

Resulta que su expresión por los límites graduales de los anillos está mal para un lugar razón básica: un infinito producto (en el conjunto teórico de sentido) graduales de los anillos no es (en cualquier forma natural) graduado anillo, para empezar. En una gradual anillo de cada elemento tiene que ser (por definición finito) suma de elementos homogéneos, como los polinomios de ser necesario (finito) de las combinaciones lineales de monomials. En una infinita producto graduales de los anillos (visto como anillo, con los subconjuntos homogéneos en cada uno de los grados definidos de la manera obvia) uno encuentra fácilmente los elementos que no finito de sumas de elementos homogéneos, de la misma manera que la mayoría de poder formal de la serie no son combinaciones lineales finitas de monomials, simplemente mediante la combinación de los componentes de una infinidad de diferentes grados de los diferentes factores. En su lugar, se podría formar un restringido de productos, la sub-anillo de los productos generados por homogéneos; que la sub-anillo obviamente se puede hacer en una gradual anillo. El uso de este producto restringido en lugar de $\prod_i\Lambda_i$ en la expresión para el límite inversa le dará un modelo correcto.

La diferencia con el límite inversa de los anillos de $\Lambda_n$ (que no hace uso no restringido de producto), es que el último tiene mucho más elementos. Por ejemplo, tomando $a_n\in\Lambda_n$ a ser el elemento $\sum_{i=0}^ne_i[X_1,\ldots,X_n]$ por cada$~n$, claramente ha $f_{i,j}(a_j)=a_i$ siempre $i\leq j$, por lo que este define un elemento de la matriz inversa límite de los anillos. Sin embargo, este elemento de la matriz inversa límite (que también puede ser descrito de forma más concisa como $\prod_{i\geq 1}(1+X_i)$, incluso a pesar de que requiere un esfuerzo adicional para incluso hacer sentido de que la expresión) no es una suma finita de elementos homogéneos, y por lo tanto no tiene ningún elemento correspondiente en el límite inversa graduales de los anillos. Y no queremos lidiar con tales elementos en el ring $\Lambda$ simétrica funciones, por lo que es importante utilizar el graduado de anillo límite inversa de la construcción para$~\Lambda$ (si se quiere utilizar un límite inversa de la construcción en todos).

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Uno podría preguntarse cómo la categoría de la teoría de la definición de las obras de ambas construcciones, y cómo cada uno de estos anillos se las arregla para cumplir con los requisitos para el límite inversa en una categoría, pero no en el otro. Una parte es fácil: la restricción de la construcción del producto no es un anillo graduado en cualquier manera que hace que los morfismos gradual, por lo que no desempeña ningún papel en el gran anillo de categoría. Sin embargo, el restringido de productos que hace es definir una ordinaria anillo que tiene el morfismos y hace que todo el viaje, así que ¿por qué no es el límite en la categoría de anillos? Porque no es universal propiedad: cualquier otro anillo con la familia de morfismos a cada una de las $\Lambda_n$ si el factor a través del límite inversa anillo, pero la construida a partir de la restricción producto no es un factor a través de la construida a partir de la restricción del producto, como el "unbounded" elementos tienen ningún lugar a donde ir. En la dirección opuesta no hay ningún problema: la restricción del producto de la construcción de mapas (injectively) a la libre construcción del producto, en un (único) de manera que hace que todo viaje.

Answer 3

El límite inverso en la categoría graduada es el anillo de polinomios en las funciones simétricas elementales $E_i$ , es decir, $\Bbb Q[E_1,E_2,E_3,\ldots]$ .

El límite inverso en la categoría sin calificación es mayor. Contiene cosas como la suma infinita formal $E_1+E_2+\cdots$ .