Encuentra dos números primos impares para los cuales$(p-1)!≡-1\mod p^2$ donde$p \le13$?

Question

Excepto la fuerza bruta, ¿hay alguna manera de resolver esto? Una forma de resolverlo es mediante el teorema de Wilson, pero no pude avanzar mucho.

Answer 1

Sólo hay $5$ impares primos $p$ con $p\leq13$. Computación $(p-1)!\pmod{p^2}$ para cada uno de ellos no puede ser llamado fuerza bruta; no necesito la pluma y el papel para comprobar que $$2!\not\equiv-1\pmod{9},\qquad 4!\equiv-1\pmod{25},\qquad 6!\not\equiv-1\pmod{49},$$ y el fraseo de la pregunta sugiere que al menos uno de $p=11$ o $p=13$ satisface la congruencia, por lo que es suficiente para calcular los $10!\pmod{121}$.