Probar un anillo de isomorfismo de tallos.

Question

Supongamos $f: X \to Y $ es un esquema de mapa con $ f(x) = y $. Quiero mostrar que $$ \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak{m}y \, \mathcal{O}_{X,x} \simeq \mathcal{O}_{X_y, x}. $$

Ya que la pregunta es local, supongo que $ X = \text{Spec}(B) $, $ Y = \text{Spec}(A) $, $ \mathfrak{p} $ corresponde a $ y $ e $ \mathfrak{q} $ corresponde a $ x $, por lo que el mapa de los tallos se $ A_\mathfrak{p} \to B_\mathfrak{q} $. Ahora del lado izquierdo corresponde a $ B_\mathfrak{q} / \mathfrak{p} B_\mathfrak{q} $ , mientras que yo no estoy tan seguro acerca de la RHS, pero creo que es $$ B \otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p} $$ localizada en el primer ideal generado por a$\mathfrak{q} $. Ahora no sé cómo se muestran estos dos anillos son isomorfos. Agradecería si alguien puede dar sugerencias o puntos de referencias acerca de estos resultados, ya que no estoy familiarizado con ellos. Gracias.

Answer 1

Voy a poner mi solución.

Primero, como se dijo, todo lo que es local, así que podemos asumir $X=\text{Spec}(B)$ e $Y=\text{Spec}(A)$ y podemos cambiar la notación de a $x=\mathfrak{q}$, $y=\mathfrak{p}$.

Ahora como $\text{Spec}(k(y))=A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ e $X\times_Y \text{Spec}(k(y))=\text{Spec}(B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})$ tenemos el diagrama cartesiano

$$\require{AMScd} \begin{CD} \text{Spec}(B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}) @>>> \text{Spec}(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}) \\ @VVV @VVV\\ \text{Spec}(B) @>>> \text{Spec}(A) \end{CD}$$

Pero ahora como $\text{Spec}(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})\rightarrow \text{Spec}(A)$ es un universal homeomorphism (véase, por ejemplo, Görtz y Wedhorn Comentario 4.21) tenemos que $\text{Spec}(B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})\rightarrow \text{Spec}(B)$ es un homeomorphism, en particular, es bijective y, por tanto, $x\in X_y$ corresponden a las únicas $\tilde{\mathfrak{q}}$ de tal forma que su preimagen es $\mathfrak{q}$ bajo $B\rightarrow B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$. Por lo tanto, tenemos $$\mathcal{O}_{X_y,x}=(B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})_\tilde{\mathfrak{q}}.$$

Finalmente, como el sistema multiplicativo de a$\tilde{\mathfrak{q}}$ en $B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ es igual a la multiplicación del sistema inducida por la localización en $\mathfrak{q}$ como $B$-álgebra tenemos:

$$\begin{align}\mathcal{O}_{X_y,x} =& (B\otimes_A A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})_\tilde{\mathfrak{q}} \\ =& ( A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\otimes_A B)\otimes_B B_\mathfrak{q} \\ =& A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\otimes_A B_\mathfrak{q} \\ =& A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}} B_\mathfrak{q}\\ =& B_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}B_\mathfrak{q} \\ =& \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak{m}y \, \mathcal{O}_{X,x} \end{align}$$

Answer 2

Las Pilas Proyecto podría no ser un gran lugar para aprender geometría algebraica, por primera vez, pero usted puede mirar aquí o google acaba de producto de fibra de esquemas (o sólo de forma local rodeada de espacios) para aprender más acerca de las definiciones (que es un tipo de pelo, sólo para advertir a usted). Definitivamente es bueno saber universal de los bienes, pero creo que al final del día vas a ser más feliz de conocer a una construcción explícita.

Resulta que hay una apertura de la tapa del esquema de la teoría de la fibra $X\times_Y \mbox{Spec}(\kappa(y))$ eso es fácil-ish para describir (ver Lema 25.17.4 en el enlace de arriba). En nuestro caso, es cubierto por affine se abre como la que usted describe, $\mbox{Spec}(B\otimes_A \kappa(y))$. Primero, vamos a hacer la identificación de $B\otimes_A \kappa(y) \cong B \otimes_A A/\mathfrak p \otimes_A A_\mathfrak{p} \cong (B/\mathfrak p B)_\mathfrak{p}$, donde el pasado $\mathfrak p$ en el subíndice significa para invertir la imagen de $A-\mathfrak p$ en $B/\mathfrak pB$ (si este producto tensor de la traducción es extranjero, ver Atiyah-MacDonald los capítulos 2 y 3 o google alrededor de cociente y de la localización como el tensor de productos). Hay un punto aquí correspondientes a $x$, que es el principal ideal de $(B/\mathfrak p B)_\mathfrak{p}$ correspondiente a $\mathfrak q$ bajo el primer ideal de correspondencias (primer ideales en el cociente, el primer ideales en la localización) para los mapas $B \to B/\mathfrak p B \to (B/\mathfrak p B)_\mathfrak{p}$. Si hace un seguimiento de todos estos isomorphisms y correspondencias a través de, usted verá que el tallo de $X\times_Y \kappa(y)$ en ese punto correspondiente a $x$ es isomorfo a $((B/\mathfrak p B)_\mathfrak{p})_\mathfrak{q}) \cong B_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}B_\mathfrak{q}$, como se desee (el lado izquierdo).

Lo siento, no he rastreado todo de que yo ... de todas formas, es probable que sea más útil para usted para hacer eso.