¿Aplicando la hipótesis de inducción indirectamente? Tengo problemas para entender esta prueba.

Question

Estoy confundido acerca de la mecánica de la siguiente prueba (página 423, capítulo 20, de la cuarta edición de Spivak del Cálculo (del Teorema de Taylor)):

No estoy seguro de que puedo entender cómo aplicar la hipótesis de inducción a $R'$ obras en probar el lema de $R$ para todos los $n$. Yo esperaba que la hipótesis de inducción se aplicaría a $R$.

Tal vez mi confusión proviene del hecho de que yo no aplicar la hipótesis de inducción generalmente suficiente. Tal vez tengo que asumir que para algunos $n$ para todas las funciones de $f$ que cumplen con los criterios dados y que por lo tanto tiene también para $f'$, a partir de la cual el caso de $n+1$ sigue para todas las $f$. Así que suponemos que la hipótesis de inducción es cierto tanto para $R$ e $R'$ pero el uso de este último para obtener el $n+1$ caso de los primeros. Esto también requiere que $R'$ es $(n)$-veces diferenciable con $R'^{(k)}(a) = 0$ para todos los k hasta a $n-1$. Pero esto parece siempre ser el caso.

Answer 1

Sí, la declaración de $P(n)$ que demostrar que es

Para cada $n+1$ veces derivable la función de $R$, ...

y sólo ha $n$ como variable libre. Todo lo demás, en particular, $R$ se cuantifica dentro de $P(n)$. Para la inducción, se muestra el $P(0)$, es decir,

Para cada (vez) función derivable $R$, ...

y lo demuestran $\forall n\colon P(n)\to P(n+1)$ , para finalmente llegar a

Para todos los $n\in\Bbb N_0$, para cada $n+1$ veces derivable la función de $R$ ...

Para la inducción paso $\forall n\colon P(n)\to P(n+1)$, procedemos de la siguiente manera: Deje $n\in\Bbb N_0$ ser arbitraria. Queremos mostrar a $P(n)\to P(n+1)$. Así que supongamos $P(n)$. Ahora queremos mostrar a $P(n+1)$. Así que vamos a $R$ ser arbitraria $n+2$ veces diferenciable con $R(a)=\ldots=R^{(n+1)}(a)=0$. A continuación, $R'$ es $n+1$ veces diferenciable con $(R')'(a)=\ldots=(R')^{(n)}(a)=0$, por lo tanto $P(n)$ se aplica a $R'$ ... ... por lo tanto, la conclusión vale para $R$. Como $R$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $P(n+1)$ sostiene. Así se nos muestra $P(n)\to P(n+1)$. Como $n$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de $\forall n\in\Bbb N_0\colon P(n)\to P(n+1)$.

Answer 2

Hemos tomado la función de $R $ que es $n+2$ veces diferenciable y $R^{(k)}(a)=0$,$k=0,1,\ldots,n+1$. Nuestra hipótesis de Inducción es que la proposición tiene para para todas las funciones con grado menor que la de $R$. Ahora bien, si tomamos $R'$, tiene un grado menor que la de $R$es $(n+1) $ veces diferenciable y desde $R^{(k)}(a)=0$, $k=0,1,\ldots,n+1$, tenemos $(R')^{(k)}(a)=0$, $k=0,1,\ldots,n$. Por lo tanto podemos aplicar la hipótesis de inducción para $R'$ y proceder como se muestra en el libro de texto.