¿Qué he hecho mal? Calculando $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}$

Question

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Quiero calcular $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}$$

utilizando la regla de L'Hospitals:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}\overbrace{=}^{L'Hospital}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{2}{1+2x}}{2x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{4x}{2x+1}\to \frac{0}{1}=0$$

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La solución de mi conferencia es que $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}$ no existe.

Podríamos demostrarlo con $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}\neq\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}$ (Ya lo hice en otro post).

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Pero ¿cómo puedo mostrar exactamente, que $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x^2}$ no existe mientras se aplica la regla de L'Hospital o no hay forma de demostrarlo con L'Hospital? ¿Qué me falta? ¿Qué he hecho mal al aplicar la regla?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\dfrac{\dfrac{2}{1+2x}}{2x}=\dfrac{2}{2x(1+2x)}.$$

Ahora

$$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{2}{2x(1+2x)}=-\infty$$ y

$$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{2}{2x(1+2x)}=+\infty.$$

Answer 2

Tu segunda igualdad no es correcta. Considere $\frac{1}{2}$ . Dividir $\frac{1}{2}$ por 2. No es 1, sino 1/4. Porque

$\frac{1}{2}$ $\div$ 2 $=$ $\frac{1}{2}$ $(\frac{1}{2})$ $=$ $\frac{1}{4}$

Answer 3

Tenemos \begin{align} \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+2x)}{x^2} =& \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2}{x}\cdot\ln(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =&\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2}{x}\cdot \lim\limits_{x\to 0^+}\ln(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =& \\ =&\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2}{x}\cdot \ln \lim\limits_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =&\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2}{x}\cdot \ln e \\ =&\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{2}{x}\cdot 1 \\ =&\infty \end{align} y \begin{align} \lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+2x)}{x^2} =& \lim\limits_{x\to 0^-}\frac{2}{x}\cdot\ln(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =&\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{2}{x}\cdot \lim\limits_{x\to 0^-}\ln(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =& \\ =&\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{2}{x}\cdot \ln \lim\limits_{x\to 0^-}(1+2x)^{\frac{1}{2x}} \\ =&\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{2}{x}\cdot \ln e \\ =&-\infty \end{align}