Quiero probar que dos normas son equivalentes pero estoy luchando con un límite superior

Question

Quiero comparar la norma habitual en $L^2(-1,1)$ con lo siguiente:

PS

Ahora, seguro que tengo esto: $$ \Vert f \Vert_H^{2} = \int_{-1}^1 \vert f(x) \vert^2 \frac{1}{1+x^2}dx $ $ porque $$\Vert f \Vert_H \leq \Vert f \Vert_{L^2} $

Ahora quiero encontrar algo de M tal que $\frac{1}{1+x^2} \leq 1$ $

Pero no estoy seguro de cómo ir desde aquí.

EDITAR: Olvidé decir que podemos asumir que f es medible.

Answer 1

Simplemente tenemos $$\|f\|_{L^2}^2 =\int_{-1}^1 |f|^2 \le 2\int_{-1}^1 |f(x)|^2 \frac1{1+x^2}=2\|f\|_H^2 $ $ porque $\frac1{1+x^2}\ge\frac12$ para todos $x\in[-1,1]$ .

Answer 2

Aquí es un enfoque abstracto:

Vamos a definir una nueva medida $d \lambda = \frac{1}{1 + x^2} d\mu$significado: $ \forall E\, measurable\; \lambda(E)=\int_{E}\frac{1}{1+x^2}d \mu$ donde $\mu$ es lo habitual en la medida de Lebesgue. Observe que puesto que la integral de la $\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}d \mu$ es finito ,$\lambda$ es una medida finita, y por lo tanto una función de está en a$L^2(\lambda)$ fib es en $L^2(\mu)$ y $$\Vert f \Vert_{L^2(\lambda)}=\int \vert f \vert ^2d\lambda = \int_{-1}^{1}\vert f(x) \vert^2 \frac{1}{1+x^2}d \mu = \Vert f \Vert_H^2$$ Ahora por su primera desigualdad se demostró la identidad de la función $id: L^2(\mu) \rightarrow L^2(\lambda)$ es limitado (se puede ver por qué?). Por la asignación abierta teorema de ($L^2$ son espacios de Banach) necesariamente ha $id:L^2(\lambda) \rightarrow L^2(\mu)$ es acotado, lo que da a la inversa obligado.