Tenemos el siguiente teorema (de Husain la Introducción de Topologcal Grupos), ligeramente expresarse de otra manera:
Los siguientes son verdaderas (disculpas por el mal de formato):
(1) en cualquier grupo topológico $G$, hay una base local de $\mathscr U_e$ a $e$ consta de conjuntos cerrados tales que:
(a) $U=U^{-1}$ para todos los $U \in \mathscr U_e$
(b) Para cada a$U \in \mathscr U_e$, no es $V \in \mathscr U_e$ tal que $VV \subseteq U$.
(c) Para cada $U \in \mathscr U_e$ y cada una de las $a \in G$, no es $V \in \mathscr U_e$ tal que $V \subseteq a^{-1} Ua$.
(2) por el Contrario, para un sencillo grupo de $G$, vamos a $\mathscr B$ ser un filterbase satisfactorio (a)-(c) anterior. Entonces no hay una única topología en $G$ hacer $G$ en un grupo topológico tal que $\mathscr B$ es una base local en $e$.
Podemos canónicamente hacer cualquier grupo topológico $G$ en un espacio uniforme de la siguiente manera (Willard, el Problema 35F): tomar una base local de $\mathscr U$ a $e$ consiste simétrica nbhds. Entonces, la izquierda uniformidad $\mathscr D_L$ es la uniformidad en $G$ generado por la base de la $\{L_U | U \in \mathscr U\}$, donde $L_U=\{(x,y) \in G^2 | y \in xU\}$. Uno puede hacer lo mismo para el derecho de uniformidad, pero voy a restringir a sólo a la izquierda de uniformidad aquí.
Mi (tal vez vagos) la pregunta es la siguiente: ¿se puede reformular el teorema se indicó anteriormente, en términos de la canónica estructura uniforme en un grupo topológico, o es una mera coincidencia que las condiciones (a) y (b) se asemejan más fuertemente algunos de los axiomas de un espacio uniforme?
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En segundo lugar, creo que vale la pena mencionar el siguiente teorema de Bourbaki:
Los siguientes son verdaderas:
(1) Vamos a $E$ ser un topológico módulo a través de un valor de la división de anillo de $K$. Entonces, existe una base local de $\mathscr B$ de cerrado nbhds en $0$ la satisfacción de:
(a) Todos los $V \in \mathscr B$ es equilibrada y la absorción de
(b) Si $V \in \mathscr B$ e $\lambda \in K, \lambda \neq 0$, a continuación, $\lambda V \in \mathscr B$
(c) Para cada una de las $V \in \mathscr B$, no es $W \in \mathscr B$ tal que $W + W \subseteq V$.
(2)por el Contrario, dado un módulo más de un valor de la división de anillo de $K$: para cualquier filterbase $\mathscr B$ satisfactorio (a)-(c), no hay una única topología en $E$ lo que hace que $E$ en topológico, módulo de con $\mathscr B$ una base local en $0$.
Yo también estoy interesado si se puede reformular en términos de la natural uniforme de la estructura topológica del módulo (es decir, la estructura uniforme en $E$ si $E$ como abelian grupo con respecto a la suma). No está claro cómo capturar las condiciones (a) y (b) en el idioma de uniforme espacios, sin embargo la condición (c) parece análoga a la del axioma en un espacio uniforme "para todos los séquitos $V$, hay un séquito $W$ tal que $W \circ W \subseteq V$".
Idealmente, hay alguna manera impecable de reformular ambos teoremas en términos de uniformidad de los espacios, ya que parece que hay bastante semejanza. Todos los pensamientos son bienvenidos. Comprensiblemente, mis preguntas son vagos, así que me gustaría aclarar.
