¿Cuál es la expansión de la serie de$ \sqrt[x] x $?

Question

¿Cuál es la expansión de la serie de $ \sqrt[x] x $ ? Quiero encontrarlo porque quiero encontrar $ \int \sqrt[x] x dx$ pero creo que la integral no se puede expresar en forma de funciones elementales.

Answer 1

Dado $\,f(x) := x^{1/x},\,$ asumiendo $\,x>0.\,$ Deje $\,t>0,\,$ deje $\,u := -\log(t),\,$ e $\, z := (x-t)/t^2.\,$ Expandir $\,f(x)\,$ a una toma de corriente de la serie en $\,x=t\,$ llegar $$ \frac{f(x)}{f(t)} = 1 + (1+u)z + (u^2 + 2(1-t)u +(1-3t))\frac{z^2}{2!} +\dots$$ donde $\,a_n := [z^n/n!]\,(f(x+t)/f(t)]\,$ el coeficiente de $\,z^n/n!\,$ es un polinomio en a$\,t,u.\,$ Por ejemplo, $$ a_3 = u^3 + 3(1-2t)u^2 +3(1-5t+2t^2)u +(1-9t+11t^2).$$

Tenga en cuenta que la elección de $\,t\,$ es arbitrario y puede dejar de ser $\,t=1,\,$ por ejemplo, pero aún no he determinado el radio de convergencia que es un detalle importante ya que determina donde la expansión es válido. Él es conocido que todos los derivados de $f(x)$ se $0$ a $x=0$ y para las series de Taylor de las sumas a $0$ y no es válido para $x>0.$ La trama de la función $\,f(x)\,$ es:

Tenga en cuenta también que los términos en el poder de expansión de la serie de la función de $\,f(x) = \exp(\log(x)/x)\,$ todos tenían un factor de $\,f(t)\,$ cual es la razón por la que me factorizada en mi expansión. Comprobar esto mediante la búsqueda de sucesivos derivados de $\,f(x).$ como sigue.

Deje $\,f(x) = \exp(g(x))\,$ donde $\,g(x) = \log(x)/x.$ Deje $\,d_n := \left(\frac{d}{dx}\right)^n f(x)\,$ ser $n$-ésima derivada de $\,f(x)\,$ lo $\,d_0 = f(x)\,$ , por definición. La próxima $\,d_1 = f(x)\,g'(x)\,$donde $\,g'(x) = (1 - \log(x))/x^2.\,$ Siguiente $\,d_2 = f(x)(g'(x)^2 + g''(x)),\,$ y así sucesivamente. Por inducción $\,d_n\,$ es un polinomio en a$\,x\,$ e $\,\log(x)\,$ todo dividido por $\,x^{2n}.\,$

Answer 2

Más fácil de lo que pensaba.

Podemos escribir $ x ^ \frac {1}{x} $ como:

$$ x ^ \frac {1}{x}= e ^ { \frac {ln x} {x}} $ $ La expansión de $e^x$ es: $$ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!}$ $ Del mismo modo, la expansión de $e ^ { \frac {ln x} {x}}$ es: $$ e ^ { \frac {ln x} {x}}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(\ln x)^n}{x^n.n!} $ $

Answer 3

$$x^{1/x}$$ doesn't have a series expansion around $ x = 0$. All derivatives are $ 0$ (assuming the domain $ \ mathbb R ^ + $ ).